қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур регионального этапа
Задача №1. В начале года каждому из 150 бойцов лиги смешанных единоборств был присвоен номер от 1 до 150. В течение года было проведено 149 поединков: первого со вторым, второго с третьим, $\ldots$, 149-го со 150-м. В конце года был составлен список бойцов, победивших во всех поединках, в которых они участвовали в прошедшем году. Могли ли в этом списке оказаться и все бойцы с номерами кратными 17, и все бойцы с номерами кратными 20?
(
методкомиссия
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. В трапеции $ABCD$ диагональ $BD$ является биссектрисой угла $ADC$. На основаниях $BC$ и $AD$ выбрали точки $X$ и $Y$ соответственно таким образом, что $AX = BD$ и $AY = CD$. Оказалось, что $\angle BCD = 130^\circ$. Найдите величину угла $AXY$.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(10)
комментарий/решение(10)
Задача №3. На экране калькулятора горит число 41. За одну операцию можно увеличить или уменьшить число на экране на 33 или 34. При этом запрещается получать числа, меньшие 1, и числа, большие 99. Через 2025 операций на экране оказалось число 50. Докажите, что в некоторый момент на экране было число 67.
(
И. Рубанов,
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. На доску записали несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел. Могло ли так случиться, что и сумма всех четных выписанных чисел — квадрат натурального числа, и сумма всех нечетных выписанных чисел — квадрат натурального числа?
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. На столе стоят 12 сосудов, выстроенных в 4 ряда по 3 сосуда в каждом. В каждый сосуд налито некоторое (возможно, нулевое) количество воды. Известно, что суммарное количество воды в каждом ряду равно 1 л. При каких значениях $\alpha$ можно утверждать, что на столе найдутся два сосуда, количества воды в которых отличаются не более чем на $\alpha$ л?
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)