қазақша
русский42-я Балканская математическая олимпиада. Сараево, Босния и Герцеговины, 2025 год
Задача №1. Целое число $n > 1$ называется хорошим, если существует перестановка $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$, $a_n$ чисел 1, 2, 3, $\ldots$, $n$, такая, что:
$a_i$ и $a_{i+1}$ имеют различную четность для любого $1\le i\le n-1$;
cумма $a_1+a_2+\ldots+a_k$ является квадратичным вычетом по модулю $n$ для каждого $1\le k\le n$. Докажите, что существует бесконечно много хороших чисел, а также бесконечно много чисел, которые не являются хорошими.
Замечание: Целое число $x$ является квадратичным вычетом по модулю $n$, если существует целое число $y$ такое, что $x\equiv y^2 \pmod n$.
комментарий/решение(5)
$a_i$ и $a_{i+1}$ имеют различную четность для любого $1\le i\le n-1$;
cумма $a_1+a_2+\ldots+a_k$ является квадратичным вычетом по модулю $n$ для каждого $1\le k\le n$. Докажите, что существует бесконечно много хороших чисел, а также бесконечно много чисел, которые не являются хорошими.
Замечание: Целое число $x$ является квадратичным вычетом по модулю $n$, если существует целое число $y$ такое, что $x\equiv y^2 \pmod n$.
комментарий/решение(5)
Задача №2. Пусть $ABC$ – остроугольный треугольник с ортоцентром $H$, а $D$ – произвольная точка на стороне $BC$ отличная от $B$ и $C$. Пусть $E$ и $F$ – точки на отрезках $AB$ и $AC$ соответственно, такие, что четырехугольники $ABDF$ и $ACDE$ являются вписанными, также $BF$ и $CE$ пересекаются в точке $P$. Пусть $L$ – точка на прямой $HA$ такая, что $LC$ касается описанной окружности треугольника $PBC$ в точке $C$. Пусть прямые $BH$ и $CP$ пересекаются в точке $X$. Докажите, что точки $D$, $L$ и $X$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Найдите все функций $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такие, что для всех действительных чисел $x$ и $y$ выполняется соотношение $$f(x + y f(x)) + y = xy + f(x + y).$$
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Задача №4. В стране $n$ городов, где $n \ge 100$ – целое число. Некоторые пары городов соединены (двусторонними) рейсами. Для двух городов $A$ и $B$ определяем:
путь между $A$ и $B$ как последовательность различных городов $A=C_0,C_1,\ldots,C_k,C_{k+1}=B$, $k \ge 0$, такую, что есть рейсы между $C_i$ и $C_{i+1}$ для любого $0\le i\le k$;
длинный путь между $A$ и $B$ как путь между $A$ и $B$ такой, что никакой другой путь между $A$ и $B$ не содержит больше городов;
короткий путь между $A$ и $B$ как путь между $A$ и $B$ такой, что никакой другой путь между $A$ и $B$ не содержит меньше городов. Предположим, что для любой пары городов $A$ и $B$ в стране существуют длинный путь и короткий путь между ними, которые не имеют общих городов (кроме $A$ и $B$). Пусть $F$ – общее количество рейсов в стране. Найдите все возможные значения $F$ в зависимости от $n$.
комментарий/решение(1)
путь между $A$ и $B$ как последовательность различных городов $A=C_0,C_1,\ldots,C_k,C_{k+1}=B$, $k \ge 0$, такую, что есть рейсы между $C_i$ и $C_{i+1}$ для любого $0\le i\le k$;
длинный путь между $A$ и $B$ как путь между $A$ и $B$ такой, что никакой другой путь между $A$ и $B$ не содержит больше городов;
короткий путь между $A$ и $B$ как путь между $A$ и $B$ такой, что никакой другой путь между $A$ и $B$ не содержит меньше городов. Предположим, что для любой пары городов $A$ и $B$ в стране существуют длинный путь и короткий путь между ними, которые не имеют общих городов (кроме $A$ и $B$). Пусть $F$ – общее количество рейсов в стране. Найдите все возможные значения $F$ в зависимости от $n$.
комментарий/решение(1)