қазақша
русский8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур
Задача №1. В один ряд в порядке возрастания записаны все делители натурального числа $n$ (включая 1 и само число $n$). Пусть $A$ — сумма первых трёх чисел, а $B$ — сумма трех последних чисел ряда. Найдите $\frac{B}{n}$, если $A=9$. (Считайте, что $n$ имеет не менее 6 делителей. В задаче найдите всевозможные ответы, и докажите, что других нет.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Дан четырёхугольник $ABCD$ с углами $\angle A=\angle D=60^\circ$. На стороне $AD$ отмечена точка $K$. Оказалось, что $\angle ABK+2\angle KBC=\angle DCK+2\angle KCB=180^\circ$. Докажите, что $\angle DKC=\angle ABK$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Можно ли в клетках таблицы $5 \times 5$ записать все целые числа от 1 до 25 по одному разу так, чтобы
а) сумма чисел;
б) произведение чисел
в любом квадрате $2 \times 2$ была одна и та же.
комментарий/решение(1)
а) сумма чисел;
б) произведение чисел
в любом квадрате $2 \times 2$ была одна и та же.
комментарий/решение(1)
Задача №4. Дано положительное число $k$. На ветви графика функции $y=\frac{k}{x}$, расположенной в первой четверти, отмечены точки $A$ и $B$. Из точки $A$ на ось абсцисс опущен перпендикуляр $AC$, а из точки $B$ на ось ординат — перпендикуляр $BD$. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Площади треугольников $ABE$ и $CDE$ равны 3,6 и 1,6 соответственно. Найдите $k$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В строку выписано 22 натуральных (не обязательно различных) чисел. Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения так, чтобы значение полученного выражения будет делиться на 2025 нацело. (Стоящие рядом числа нельзя объединять в одно число. Скобки можно ставить как в начале, так и в конце выражения.)
комментарий/решение
комментарий/решение