қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2017 год. Швейцария
Есеп №1. $\angle DAB=\angle BCD=90^{\circ}$ және $\angle ABC>\angle CDA$ болатындай дөңес $ABCD$ төртбұрышы берiлген. Бiр түзу $BC$ мен $CD$ кесiндiлердi сәйкесiнше $Q$ мен $R$ нүктелерiнде қияды, және сол түзу $AB$ мен $AD$ түзулердi сәйкесiнше $P$ мен $S$ нүктелерiнде қияды. $PQ=RS$ екенi белгiлi. $M$ нүктесi $BD$ кесiндiнiң ортасы болсын, ал $N$ нүктесi $QR$ кесiндiнiң ортасы болсын. $M$, $N$, $A$ және $C$ нүктелерi бiр шеңбердiң бойында жататынын дәлелдеңiз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Натурал $k$ саны үшiн келесi екi шартты қанағаттандыратын:
(i) $f(m+n)=f(m)+f(n)$ теңдiгi кез келген бiр түстi натурал $m$, $n$ сандары үшiн орындалады;
(ii) $f(m+n) \neq f(m)+f(n)$ теңсiздiгi орындалатындай $m$, $n$ натурал сандары табылады;
натурал сандарының $\mathbb{N}$ жиыны $k$ түске бояуы және $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ функциясы табылады. $k$ санның ең кiшi мәнiң табыңыз.
Натурал сандары $\mathbb{N}$ жиынының $k$ түске бояғанда әр сан $k$ түстен тек бiр түске боялған. (i) және (ii) шарттарда $m$, $n$ натурал сандары тең болуы да мүмкiн.
комментарий/решение
(i) $f(m+n)=f(m)+f(n)$ теңдiгi кез келген бiр түстi натурал $m$, $n$ сандары үшiн орындалады;
(ii) $f(m+n) \neq f(m)+f(n)$ теңсiздiгi орындалатындай $m$, $n$ натурал сандары табылады;
натурал сандарының $\mathbb{N}$ жиыны $k$ түске бояуы және $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ функциясы табылады. $k$ санның ең кiшi мәнiң табыңыз.
Натурал сандары $\mathbb{N}$ жиынының $k$ түске бояғанда әр сан $k$ түстен тек бiр түске боялған. (i) және (ii) шарттарда $m$, $n$ натурал сандары тең болуы да мүмкiн.
комментарий/решение
Есеп №3. Кез келген үш түзу бiр нүктеде қиылыспайтындай жазықтықта 2017 түзу берiлген. Турбо ұлуы бiр түзудiң нүктесiнде отыр және келесi ережелердi қанағаттандырып түзулердiң бойымен жылжыйды: түзу бойымен жүрiсi келесi қиылысу нектесiне дейiн ғана болады. Қиылусу нүктесiнде ол жүрiсiн келесi түзудiң бойымен жалғастырады, бұраулары сол және оң жаққа кезектесiп отырады. Бағытын ол тек түзулер қиылысу нүктелерiнде ғана өзгерте алады. Осы сапарында бiр кесiндiнiң бойымен ұлы екi бағытта жүруi мүмкiн бе?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $n \geq 1$ — бүтiн және $t_{1} (i) Әр адамның ойындарының саны келесi сандарының бiрi: $t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n}$.
(ii) Кез келген $i$ саны үшiн ($1 \leq i \leq n$), тура $t_{i}$ ойын ойнаған адам табылады.
комментарий/решение
(ii) Кез келген $i$ саны үшiн ($1 \leq i \leq n$), тура $t_{i}$ ойын ойнаған адам табылады.
комментарий/решение
Есеп №5. $n \ge 2$ — бүтiн саны берiлген. ($a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$) реттелген жиынтығы қымбат $n$-жиынтық деп аталады (жиынтықта кейбiр сандар тең болуы мүмкiн), егер келесi шарт орындалатындай $k$ натурал сан табылса: $$ \left(a_{1}+a_{2}\right)\left(a_{2}+a_{3}\right) \cdots \cdots\left(a_{n-1}+a_{n}\right)\left(a_{n}+a_{1}\right)=2^{2 k-1}. $$
a) Қымбат $n$-жиынтық табылатындай барлық бүтiн $n \ge 2$ сандырын табыңыз.
b) Кез келген тақ натурал $m$ саны үшiн кейбiр қымбат $n$-жиынтықта $m$ саны кездесетiндей бүтiн $n \ge 2$ саны табылатынын дәлелдеңiз.
Теңдiктiң сол жағы тура $n$ көбейтiндiден құрылған.
комментарий/решение
a) Қымбат $n$-жиынтық табылатындай барлық бүтiн $n \ge 2$ сандырын табыңыз.
b) Кез келген тақ натурал $m$ саны үшiн кейбiр қымбат $n$-жиынтықта $m$ саны кездесетiндей бүтiн $n \ge 2$ саны табылатынын дәлелдеңiз.
Теңдiктiң сол жағы тура $n$ көбейтiндiден құрылған.
комментарий/решение
Есеп №6. Қабырғалары бiр бiрiне тең емес $ABC$ сүйiр бұрышты үшбұрыш берiлген. $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ және $O_{1}, O_{2}, O_{3}$ нүктелерi сәйкесiнше $ABC$ үшбұрышының $G$ ауырлық ортасына және сырттай сызылған шеңберiнiң $O$ центрi $BC$, $CA$, $AB$ қабырғаларына қатысты симметриялы болсын. $G_{1}G_{2}C,$ $G_{1}G_{3}B,$ $G_{2}G_{3}A,$ $O_{1}O_{2}C,$ $O_{1}O_{3}B,$ $O_{2}O_{3}A$ және $ABC$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлерi бiр нүктеде қиылысатынын дәлелдеңiз. Үшбұрыштың медианалар қиылысу нүктесi ауырлық центрі деп аталады.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)