қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2021 год. Грузия
Есеп №1. 2021 саны — ғажайып сан. Егер $\{m, 2 m+1,3 m\}$ жиынындағы қандай да бiр сан ғажайып болса, онда осы жиындағы санның әрқайсысы ғажайып болады (бұл жерде $m$ — натурал сан). Осыдан $2021^{2021}$ саны ғажайып екенi шығады ма?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Кез келген рационал $x$, $y$ сандары үшiн $$f(x f(x)+y)=f(y)+x^{2}$$ теңдiгi орындалатындай барлық $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ функцияларын табыңыздар. $\mathbb{Q}$ жиыны — рационал сандар жиыны.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $A$ бұрышы доғал. $A$ бұрышының сыртқы биссектрисасы $B$ және $C$ төбелерiнен жүргiзiлген биiктiктермен сәйкесiнше $E$ және $F$ нүктелерiнде қиылысады. $EC$ және $FB$ кесiндiлерiнен сәйкесiнше $M$ және $N$ нүктелерi $\angle EMA=\angle BCA$ және $\angle ANF=\angle ABC$ болатындай алынған. $E$, $F$, $N$ және $M$ нүктелерi бiр шеңбердiң бойында жататынын дәлелдеңiздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $I$ нүктесi $ABC$ үшбұрышына iштей сызылған шеңбер центрi, ал $D$ нүктесi $BC$ қабырғасындағы кез келген нүкте. $D$ нүктесi арқылы өтетiн және $BI$ түзуiне перпендикуляр түзу $CI$ түзуiн $E$, ал $D$ нүктесi арқылы өтетiн және $CI$ түзуiне перпендикуляр түзу $BI$ түзуiн $F$ нүктеде қияды. $A$ нүктесiне $EF$ түзуiне қарағандағы симметриялы нүкте $BC$ түзуiнiң бойында жатқанын дәлелдеңiздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. Жазықтықта $O$ нүктесi белгiленген, оны бас нүкте деп атайық. Осы жазықтықта келесi шарттарды қанағаттандыратын 2021 нүктеден тұратын $P$ жиынын қарастырайық
(i) $P$-ның ешқандай үш нүктесi бiр түзудiң бойында жатпайды және
(ii) $P$-ның екi нүктесiн қосатын ешқандай түзу бас нүкте арқылы өтпейдi.
Егер $O$ нүктесi $P$-ның үш нүктесi құрайтын үшбұрыштың iшiнде (қатаң түрде) жатса, ондай үшбұрышты толық үшбұрыш деп атайық. Жазықтықта ең көп дегенде қанша үшбұрыш толық болуы мүмкiн?
комментарий/решение
(i) $P$-ның ешқандай үш нүктесi бiр түзудiң бойында жатпайды және
(ii) $P$-ның екi нүктесiн қосатын ешқандай түзу бас нүкте арқылы өтпейдi.
Егер $O$ нүктесi $P$-ның үш нүктесi құрайтын үшбұрыштың iшiнде (қатаң түрде) жатса, ондай үшбұрышты толық үшбұрыш деп атайық. Жазықтықта ең көп дегенде қанша үшбұрыш толық болуы мүмкiн?
комментарий/решение
Есеп №6. $\left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor=n^{2}+a$ теңдеуiнiң әртүрлi ($m, n$) шешiмдерiнiң саны ($m$, $n$ — натурал сандар) бiр миллионнан асатындай, терiс емес бүтiн $a$ саны табылады ма?
$x$ санының бүтiн $\lfloor x\rfloor$ бөлiгi деп, $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтiн санды айтамыз. Мысалға $\lfloor\sqrt{2}\rfloor=1,\lfloor\pi\rfloor=\lfloor 22 / 7\rfloor=3$, $\lfloor 42\rfloor=42$ и $\lfloor 0\rfloor=0$.
комментарий/решение
$x$ санының бүтiн $\lfloor x\rfloor$ бөлiгi деп, $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтiн санды айтамыз. Мысалға $\lfloor\sqrt{2}\rfloor=1,\lfloor\pi\rfloor=\lfloor 22 / 7\rfloor=3$, $\lfloor 42\rfloor=42$ и $\lfloor 0\rfloor=0$.
комментарий/решение