1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Республикалық олимпиада
  4. Республиканская юниорская олимпиада
  5. 2022-2023 у.г.
  6. 8 класс. Заключительный этап

Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2022-2023 учебный год. 8 класс.


Есеп №1. Келесі шартты қанағаттандыратын барлық $(a,b,c)$ оң нақты үштіктерін табыңыз \[a^3 + b^3 = b^4 + c^4 = c^5 + a^5 = 2. \]
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $ABC$ ($BA\ne BC$) сүйірбұрышты үшбұрышында $BE$ және $CF$ биіктіктері жүргізілген. $M,N$ нүктелері — сәйкесінше $BC, CA$ қабырғаларының орталары. $CF$ түзуі $BEN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $X$ және $Y$ нүктелерінде қияды. $A,M,X,Y$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Кез келген екi әртүрлi таңдалған санның қосындысы кейбір $p$ жай саны мен $n$ натурал саны үшін, $p^n$ түрінде жазуға болатындай ең көп неше әртүрлi бүтiн сан таңдауға болады?
комментарий/решение(1)
Есеп №4.  Мемлекетте 2023 қала және $n$ жол бар. Әрбір жол әртүрлі екі қаланы байланыстырады және кез келген екі қала арасында бір жолдан аспайды. Осы жолдармен кез келген қаладан кез келген басқа қалаға жетуге болатыны белгілі. Бұл жолдарды күтіп ұстау қымбатқа түскендіктен, кез келген қаладан қалған жолдармен кез келген басқа қалаға жетуге болатындай, үкімет жолдардың $80\%$-дан қатаң астамын жабу туралы шешім қабылдады. Бұл шешім ел тұрғындарына ұнады және оларға үкімет жаппайтын 2 жолды таңдау ұсынылды. Жолдардың кез келген бастапқы орналасуымен және тұрғындардың кез келген таңдауымен үкімет өз жоспарын орындай алатындай $n$-нің ең кіші мүмкін мәнін табыңыз.
комментарий/решение