қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2024-2025 учебный год. 7 класс.
Есеп №1. (а) Кез келген нақты $x, y, z$ сандары үшін келесі теңдік орындалатынын дәлелдеңіз: $$ x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z=(x+y+z)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-x z-y z\right) . $$ (b) Келесі теңдік орындалатындай, барлық $(a, b)$ нақты сандар жұптарын табыңыз: $a^{3}+b^{3}+6 a b=8$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Тікбұрышты $A B C$ үшбұрышының $A B$ гипотенузасына $C H$ биіктігі түсірілген. $C K$ мен $C L$ сәйкес $A C H$ мен $B C H$ үшбұрыштарының биссектрисалары. $L$ нүктесі $A B$ гипотенузасының ортасы болған болса, келесі қатынасты есептеңіз: $\frac{2CH-AK}{KL}$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $x+y+z \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ және $xyz=1$ шарттары орындалатын $x, y, z$ оң нақты сандар болсын. Онда, $\min \{x+y, y+z, z+x\} \leq 2$ болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Теңдеудің шешімі болатын барлық $(x, y)$ бүтін сандар жұптарын табыңыз: $$ \left(x^{2}-3 x-1\right)\left(x^{2}-x+1\right)=7 \cdot 3^{y} . $$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Бiр ұмытшақ ғалымның зертханасында сыртқы түрiнен айырмашылығы бiлiнбейтiн 35 кристалл сақтаулы тұр. Олардың арасында мiндеттi түрде мыналар бар: 1 энергия кристалы, 1 бейтараптандырғыш кристалл (егер ол энергия кристалдың қасында тұрса, онда ол энергия кристалдың қасиеттерiн басады), 33 қарапайым кристалл. Ғалым, өзiнiң ұмытшақтығынан барлық кристалды бiр қорапқа салып қойды да, ендi қай кристалл қайсы екенiн ажырата алмай отыр.
Детекторды бiр рет қолданғанда, оған бiрнеше кристалл салады (кез келген мөлшерде кристалл салуға болады, 1-ден бастап барлығы 35-ке дейiн). Кейiн детектор салынған кристалдардың түрлерiне байланысты қорытынды көрсетедi.
Егер детекторға тек қарапайым кристалдар салынса, ол ешқандай белгi бермейдi.
Егер салынған кристалдардың арасында энергия кристалы болып, бiрақ бейтараптандырғыш кристалл болмаса, энергия кристалы жасыл түспен жанады.
Егер кристалдардың арасында бейтараптандырғыш кристалл болса (энергия кристалдың бар-жоғына қарамастан), детектор ешқандай белгi бермейдi — энергия кристалдың қасиеттерi басылады.
Алайда бiр шектеу бар: детектор аккумуляторының қуаты тек 7 тексеруге жетедi.
Ғалым, детекторды 7 реттен көп қолданбай, 35 кристалдың қайсысы энергия кристалы екенiн анықтай ала ма?
комментарий/решение(1)
Детекторды бiр рет қолданғанда, оған бiрнеше кристалл салады (кез келген мөлшерде кристалл салуға болады, 1-ден бастап барлығы 35-ке дейiн). Кейiн детектор салынған кристалдардың түрлерiне байланысты қорытынды көрсетедi.
Егер детекторға тек қарапайым кристалдар салынса, ол ешқандай белгi бермейдi.
Егер салынған кристалдардың арасында энергия кристалы болып, бiрақ бейтараптандырғыш кристалл болмаса, энергия кристалы жасыл түспен жанады.
Егер кристалдардың арасында бейтараптандырғыш кристалл болса (энергия кристалдың бар-жоғына қарамастан), детектор ешқандай белгi бермейдi — энергия кристалдың қасиеттерi басылады.
Алайда бiр шектеу бар: детектор аккумуляторының қуаты тек 7 тексеруге жетедi.
Ғалым, детекторды 7 реттен көп қолданбай, 35 кристалдың қайсысы энергия кристалы екенiн анықтай ала ма?
комментарий/решение(1)