қазақша
русскийМеждународная олимпиада 2025, Саншайн-Кост (Квинсленд), Австралия, 2025 год
Задача №1. Прямая на плоскости называется солнечной, если она не параллельна ни одной из осей $O x, O y$ и прямой $x+y=0$.
Дано целое число $n \geqslant 3$. Определите все неотрицательные целые числа $k$, такие, что на плоскости существует $n$ различных прямых, удовлетворяющих следующим двум условиям:
$\bullet$ для всех положительных целых чисел $a$ и $b$, где $a+b \leqslant n+1$, точка $(a, b)$ лежит хотя бы на одной из этих прямых;
$\bullet$ ровно $k$ из этих $n$ прямых являются солнечными.
комментарий/решение(6)
Дано целое число $n \geqslant 3$. Определите все неотрицательные целые числа $k$, такие, что на плоскости существует $n$ различных прямых, удовлетворяющих следующим двум условиям:
$\bullet$ для всех положительных целых чисел $a$ и $b$, где $a+b \leqslant n+1$, точка $(a, b)$ лежит хотя бы на одной из этих прямых;
$\bullet$ ровно $k$ из этих $n$ прямых являются солнечными.
комментарий/решение(6)
Задача №2. Пусть $\Omega$ и $\Gamma$ - окружности с центрами $M$ и $N$ соответственно, такие, что радиус $\Omega$ меньше радиуса $\Gamma$. Предположим, что окружности $\Omega$ и $\Gamma$ пересекаются в двух различных точках $A$ и $B$. Прямая $M N$ пересекает $\Omega$ в точке $C$, а $\Gamma$ - в точке $D$, так что точки $C, M, N$ и $D$ лежат на этой прямой в указанном порядке. Пусть $P$ - центр описанной окружности треугольника $A C D$. Прямая $A P$ второй раз пересекает $\Omega$ в точке $E \neq A$. Прямая $A P$ второй раз пересекает $\Gamma$ в точке $F \neq A$. Пусть $H$ - точка пересечения его высот треугольника $P M N$.
Докажите, что прямая, проходящая через точку $H$ и параллельная $A P$, касается описанной окружности треугольника $B E F$.
комментарий/решение(2)
Докажите, что прямая, проходящая через точку $H$ и параллельная $A P$, касается описанной окружности треугольника $B E F$.
комментарий/решение(2)
Задача №3. Пусть $\mathbb{N}$ обозначает множество положительных целых чисел. Функция $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ называется борзой, если $$f(a) \text { делит } b^a-f(b)^{f(a)}$$ для всех положительных целых чисел $a$ и $b$. Определите наименьшую действительную константу $c$, такую, что $f(n) \leqslant c n$ для всех борзых функций $f$ и всех положительных целых чисел $n$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Собственным делителем положительного целого числа $N$ называется положительный делитель числа $N$, отличный от самого $N$.
Бесконечная последовательность $a_1, a_2, \ldots$ состоит из положительных целых чисел, каждое из которых имеет по крайней мере три собственных делителя. Для каждого $n \geqslant 1$ число $a_{n+1}$ равно сумме трёх наибольших собственных делителей числа $a_n$. Определите все возможные значения числа $a_1$.
комментарий/решение(3)
Бесконечная последовательность $a_1, a_2, \ldots$ состоит из положительных целых чисел, каждое из которых имеет по крайней мере три собственных делителя. Для каждого $n \geqslant 1$ число $a_{n+1}$ равно сумме трёх наибольших собственных делителей числа $a_n$. Определите все возможные значения числа $a_1$.
комментарий/решение(3)
Задача №5. Алиса и Базза играют в игру коалация, игру для двух игроков, правила которой зависят от положительного действительного числа $\lambda$, известного обоим игрокам. На $n$-ом ходу игры (начиная с $n=1$ ) происходит следующее:
$\bullet$ Если $n$ нечётно, то Алиса выбирает неотрицательное действительное число $x_n$ такое, что $$x_1+x_2+\cdots+x_n \leqslant \lambda n .$$
$\bullet$ Если $n$ чётно, то Базза выбирает неотрицательное действительное число $x_n$ такое, что $$ x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 \leqslant n . $$ Если игрок не может выбрать подходящее число $x_n$, игра заканчивается и другой игрок выигрывает. Если игра продолжается бесконечно, ни один из игроков не выигрывает. Все выбранные числа известны обоим игрокам.
Определите все значения $\lambda$, для которых у Алисы есть выигрышная стратегия, и все значения, для которых у Баззы есть выигрышная стратегия.
комментарий/решение(1)
$\bullet$ Если $n$ нечётно, то Алиса выбирает неотрицательное действительное число $x_n$ такое, что $$x_1+x_2+\cdots+x_n \leqslant \lambda n .$$
$\bullet$ Если $n$ чётно, то Базза выбирает неотрицательное действительное число $x_n$ такое, что $$ x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 \leqslant n . $$ Если игрок не может выбрать подходящее число $x_n$, игра заканчивается и другой игрок выигрывает. Если игра продолжается бесконечно, ни один из игроков не выигрывает. Все выбранные числа известны обоим игрокам.
Определите все значения $\lambda$, для которых у Алисы есть выигрышная стратегия, и все значения, для которых у Баззы есть выигрышная стратегия.
комментарий/решение(1)
Задача №6. Рассмотрим сетку размером $2025 \times 2025$ из единичных квадратов. Матильда хочет разместить на сетке несколько прямоугольных плиток, возможно, разных размеров, так, чтобы стороны каждой плитки лежали на линиях сетки, а каждый единичный квадрат был покрыт не более чем одной плиткой.
Определите минимальное количество плиток, которые Матильде нужно разместить так, чтобы в каждой строке и каждом столбце сетки был ровно один единичный квадрат, не покрытый ни одной плиткой.
комментарий/решение(2)
Определите минимальное количество плиток, которые Матильде нужно разместить так, чтобы в каждой строке и каждом столбце сетки был ровно один единичный квадрат, не покрытый ни одной плиткой.
комментарий/решение(2)