қазақша
русскийМеждународная олимпиада 2025, Саншайн-Кост (Квинсленд), Австралия, 2025 год
Есеп №1. Жазықтықтағы түзу жарық түзу деп аталады, егер ол $O x, O y$ осьтеріне де, $x+y=0$ түзуіне де параллель болмаса.
$n \geqslant 3$ бүтін саны берілген. Келесі екі шартты қанағаттандыратын барлық теріс емес әрі бүтін $k$ мәндерін, әрі осы әр мән үшін дәл $n$ әртүрлі түзулер табылып, әрқайсысы үшін келесі шарт орындалады:
$\bullet$ барлық оң бүтін $a$ және $b$ сандары үшін, мұндағы $a+b \leqslant n+1$, $(a, b)$ нүктесі осы түзулердің кем дегенде біреуінде жатады;
$\bullet$ Осы түзулердің дәл $k$-сы жарық түзу.
комментарий/решение(6)
$n \geqslant 3$ бүтін саны берілген. Келесі екі шартты қанағаттандыратын барлық теріс емес әрі бүтін $k$ мәндерін, әрі осы әр мән үшін дәл $n$ әртүрлі түзулер табылып, әрқайсысы үшін келесі шарт орындалады:
$\bullet$ барлық оң бүтін $a$ және $b$ сандары үшін, мұндағы $a+b \leqslant n+1$, $(a, b)$ нүктесі осы түзулердің кем дегенде біреуінде жатады;
$\bullet$ Осы түзулердің дәл $k$-сы жарық түзу.
комментарий/решение(6)
Есеп №2. $\Omega$ және $\Gamma$ – центрлері, сәйкесінше, $M$ және $N$ болатын шеңберлер, мұнда $\Omega$ шеңберінің радиусы $\Gamma$ радиусынан кіші. $\Omega$ және $\Gamma$ екі түрлі $A$ және $B$ нүктесінде қиылысады. $M N$ түзуі $\Omega$ шеңберін $C$ нүктесінде, ал $\Gamma$ шеңберін $D$ нүктесінде қиып өтеді. Бұл нүктелер $C, M, N$ және $D$ ретімен бір түзу бойында орналасқан. $P$ – $A C D$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбер центрі. $A P$ түзуі $\Omega$ шеңберін екінші рет $E \neq A$ нүктесінде қиып өтеді. $A P$ түзуі $\Gamma$ шеңберін екінші рет $F \neq A$ нүктесінде қиып өтеді. $H$ – $P M N$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі.
$H$ нүктесі арқылы өтетін және $A P$-ға параллель түзу $B E F$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберін жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
$H$ нүктесі арқылы өтетін және $A P$-ға параллель түзу $B E F$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберін жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $\mathbb{N}$ – натурал сандар жиыны. Егер барлық натурал $a$ және $b$ сандары үшін $f(a)$ саны $ b^a-f(b)^{f(a)}$ санын бөлсе, онда $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ функциясы өркөкірек деп аталады. Барлық өркөкірек функциялар үшін және барлық $n \in \mathbb{N}$ үшін $f(n) \leqslant c n$ болатындай ең кіші нақты $c$ тұрақты санын табыңыз.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. Натурал $N$ санының өздік бөлгіші деп $N$ санына тең емес оң бөлгішін атаймыз.
$a_1, a_2, \ldots$ шексіз тізбегі берілген, мұндағы әрбір мүшенің кем дегенде үш өздік бөлгіші бар. Әрбір $n \geqslant 1$ үшін $a_{n+1}$ саны $a_n$ санының ең үлкен үш өздік бөлгішінің қосындысына тең. $a_1$ саны қандай мәндерді қабылдай алады?
комментарий/решение(3)
$a_1, a_2, \ldots$ шексіз тізбегі берілген, мұндағы әрбір мүшенің кем дегенде үш өздік бөлгіші бар. Әрбір $n \geqslant 1$ үшін $a_{n+1}$ саны $a_n$ санының ең үлкен үш өздік бөлгішінің қосындысына тең. $a_1$ саны қандай мәндерді қабылдай алады?
комментарий/решение(3)
Есеп №5. Әлиса мен Базза коалация деп аталатын екі ойыншыға арналған ойынды ойнайды. Бұл ойынның ережелері екі ойыншыға да белгілі болатын нақты оң $\lambda$ санына тәуелді.
$n$-ші жүрісте (бұл жерде $n=1,2,\dots$):
$\bullet$ Егер $n$ тақ болса, Әлиса $x_1+x_2+\cdots+x_n \leqslant \lambda n$ шарты орындалатындай $x_n \geq 0$ нақты санын таңдайды.
$\bullet$ Егер $n$ жұп болса, Базза $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 \leqslant n$ шарты орындалатындай $x_n \geq 0$ нақты санын таңдайды.
Егер ойыншы шартты орындай алмаса, ойын тоқтайды, ал қарсыласы жеңеді. Егер ойын шексіз жалғасса, ешкім жеңбейді.
Әлиса жеңетіндей стратегия болатындай, сондай-ақ Базза жеңетіндей стратегия болатындай, барлық $\lambda$ мәндерін табыңыз.
комментарий/решение(1)
$n$-ші жүрісте (бұл жерде $n=1,2,\dots$):
$\bullet$ Егер $n$ тақ болса, Әлиса $x_1+x_2+\cdots+x_n \leqslant \lambda n$ шарты орындалатындай $x_n \geq 0$ нақты санын таңдайды.
$\bullet$ Егер $n$ жұп болса, Базза $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 \leqslant n$ шарты орындалатындай $x_n \geq 0$ нақты санын таңдайды.
Егер ойыншы шартты орындай алмаса, ойын тоқтайды, ал қарсыласы жеңеді. Егер ойын шексіз жалғасса, ешкім жеңбейді.
Әлиса жеңетіндей стратегия болатындай, сондай-ақ Базза жеңетіндей стратегия болатындай, барлық $\lambda$ мәндерін табыңыз.
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $2025 \times 2025$ өлшемді бірлік шаршылардан тұратын тор берілген. Матильда осы торға әртүрлі өлшемдегі бірнеше тік төртбұрышты плиткаларды орналастырғысы келеді. Әр плитканың қабырғалары тор сызықтарымен сәйкес келеді және ешбір бірлік шаршы екі немесе одан да көп плиткалармен жабылмайды.
Тордың әрбір қатары мен әрбір бағанында дәл бір бірлік шаршы жабылмай қалатындай, Матильда ең аз дегенде қанша плитка қоюы қажет?
комментарий/решение(2)
Тордың әрбір қатары мен әрбір бағанында дәл бір бірлік шаршы жабылмай қалатындай, Матильда ең аз дегенде қанша плитка қоюы қажет?
комментарий/решение(2)