қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2026 год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Есеп құрастыру комиссиясы бірнеше автордан тұрады. Кез келген екі автордың біреуі ғана екіншісіне сенеді. Әр күн сайын әр автор бір жаңа есеп құрастырып, осы есепті және осы күнге дейін өзіне келген есептердің бәрін өзі сенетін барлық авторларға жібереді (бүгін алған есептерді жіберемейді). Үшінші күні қандай да бір автор бірінші күні жіберген өз есебін қайта алмаса (яғни ешкім оған үшінші күні дәл сол есепті жібермеген), онда кейбір авторларға мүлдем жітпейтін есеп бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. В треугольнике $ABC$, в котором $AC > BC$, точка $K$ симметрична точке $A$ относительно его биссектрисы $CD$. $L$ такая точка, что $BDCL$ — параллелограмм, а $H$ — основание перпендикуляра, проведённой из точки $C$ на прямую $BL$. Пусть прямые $AH$ и $CL$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что прямые $CD$ и $KM$ параллельны.
(
Жеңісбек Б.
)
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Есеп №3. Найдите все квадратные трёхчлены $P(x)$ и $Q(x)$ с действительными коэффициентами такие, что $P(1)=5$, $Q(1)=6$ и $$P(x) - xQ(x) + x + 1 \ \text{ делится на } x^2 - x + 1;$$ $$xP(-x) + Q(-x) + x - 1 \ \text{ делится на } x^2 + x + 1.$$ Считается, что для многочленов с действительными коэффициентами $f(x)$ делится на $g(x)$, где $g(x)$ тождественно не равен нулю, если существует такой многочлен $q(x)$ с действительными коэффициентами, что $f(x)=g(x)\cdot q(x)$.
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. Даны две непересекающиеся окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно. Пусть $AB$ — отрезок общего внешнего касательного к $\omega_1$ и $\omega_2$. Из точки $M$ отрезка $AB$ проведены касательные $MP$ и $MQ$ к $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно (здесь точки $A$, $P$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$, $Q$ — на $\omega_2$). Докажите, что если $\angle AMP=\angle BMQ$, то прямые $AQ$, $BP$ и $O_1O_2$ пересекаются в одной точке.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. Тақтада $1, 2, 3, \ldots, 2026$ сандары жазылған. Елдана мен Еламан келесі ойынды ойнайды. Ойынды Еламан бастайды, одан кейін кезектесіп жүреді. Әр жүрісте ойыншы тақтадан кез келген $m$ және $n$ сандарын таңдап, оларды өшіріп, тақтаға $m^n$ санын жазады. Тақтада бір сан қалмайынша ойын жалғаса береді. Егер соңында тақтада соңғы цифры 2, 3, 7 немесе 8 болатын сан қалса, Еламан жеңеді, ал басқа жағдайда Елдана жеңеді. Дұрыс ойында кім жеңеді?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №6. Решите в натуральных числах уравнение $x^4+y^4=n!+2026$.
(
С. Мейрам
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)