қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, II тур регионального этапа
Задача №1. Как разрезать квадрат на 12 треугольников, площади которых относятся как $1 : 2 : 3 :\ldots: 11 : 12$?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. У Васи есть банки с синей, жёлтой и зелёной красками. Он хочет покрасить каждое натуральное число от 100 до $1\, 000\, 000$ включительно одной из этих красок так, чтобы каждые три попарно взаимно простых числа были одного цвета. Докажите, что Васе придётся покрасить все числа одним цветом. Напомним, что три числа попарно взаимно просты, если у каждых двух из них наибольший общий делитель равен 1.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. На рисунке изображён автодром; точки — это перекрёстки, отрезки — дороги. Каждый отрезок между соседними точками машина проезжает ровно за минуту. Приехав на перекрёсток, машина немедленно уезжает с него по любой дороге, кроме той, по которой она приехала. Сначала несколько машин расположены на перекрёстках, затем они одновременно начинают двигаться по указанным правилам. При каком наибольшем количестве машин может случиться, что они смогут неограниченно долго ездить, никогда не встречаясь (ни на перекрёстках, ни на дорогах)?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Для каких натуральных $n$ найдутся такие целые числа $a$, $b$, $c$, $d$, большие, чем $10^{2026}$, что $a^2+b^2 = c^2+d^2$ и $a+b-c-d = n$?
(
И. Богданов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle B = 60^\circ$. На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ отмечена точка $D$, а на стороне $BC$ — точка $E$, причем $AD = CE$. На продолжении отрезка $AE$ за точку $E$ нашлась такая точка $F$, что $AC = CF$ и $DE = EF$. Найдите углы треугольника $DEF$ (укажите все возможные варианты).
(
М. Федотова
)
комментарий/решение
комментарий/решение