қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, II тур регионального этапа
Есеп №1. Аудандарының қатынасы $1:2:3:\ldots:11:12$ қатынасы болатындай шаршыны 12 үшбұрышқа қалай бөлуге болады?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. Васяда көк, сары және жасыл бояулар бар бөтелкелер бар. Ол 100-ден $1\, 000\, 000$-ға дейінгі (осы сандарды қоса алғанда) барлық натурал сандарды осы бояулардың біреуімен бояп шыққысы келеді. Бояу кезінде кез келген үш сан қос-қостан өзара жай болса, олар бір түсті болуы керек. Васяға барлық сандарды бір түске бояуға мәжбүр болатынын дәлелдеңдер. Естеріңізге сала кетейік: үш сан өзара жай деп аталады, егер олардың әрбір екеуінің ең үлкен ортақ бөлгіші 1-ге тең болса.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Суретте автодром көрсетілген; нүктелер — қиылыстар, кесінділер — жолдар. Көршілес екі нүкте арасындағы әрбір кесіндіні көлік дәл бір минутта өтеді. Көлік қиылысқа жеткен кезде, сол қиылыстан ары қарай тоқтаусыз кез келген басқа жолмен (осы қиылысқа келген жолдан басқа жолмен) ары қарай кетеді. Бастапқыда бірнеше көлік қиылыстарда орналасады, содан кейін олар бір мезгілде қозғала бастайды. Көліктер ешқашан (қиылыстарда да, жолдарда да) кездеспей, шексіз ұзақ жүре алу үшін, ең көп дегенде неше көлік болуы керек?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Қандай натурал $n$ сандары үшін, $a^2+b^2=c^2+d^2$ және $a+b-c-d=n$ теңдіктері орындалатындай $10^{2026}$-нен үлкен болатын бүтін $a,b,c,d$ сандары табылады?
(
И. Богданов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. $\angle B=60^\circ$ болатын $ABC$ үшбұрышы берілген. $AB$ қабырғасының $B$ нүктесінен ары қарай жалғасында $D$ нүктесі, ал $BC$ қабырғасында $E$ нүктесі $AD=CE$ болатындай алынған. $AE$ кесіндісінің $E$ нүктесінен ары қарай жалғасында $AC=CF$ және $DE=EF$ болатындай $F$ нүктесі табылады. $DEF$ үшбұрышының бұрыштарын табыңыз. (Барлық мүмкін жауаптарды табыңыз).
(
М. Федотова
)
комментарий/решение
комментарий/решение