Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 6 класс, 2026 год

Есеп №1. Данияр тақтаға бір сан жазды, ал Батыр оның әр цифрын әріппен алмастырды: бірдей цифрларды бірдей әріптермен, ал әртүрлі цифрларды әртүрлі әріптермен. Нәтижесінде «ПРОИЗВОДНАЯ» сөзі шықты. Егер осы сөздегі барлық «О» әріптерін өшірсек, шыққан сан $9$-ға бөлінетіні анықталды. Бастапқы санда Батыр «О» әрпімен қандай цифрды алмастырған?
комментарий/решение

Есеп №2. Санжар анасына былай деді: «Егер менің екі цифрмен жазылатын жасымның цифрларын орындарымен ауыстырсақ, сіздің жасыңыз шығады». Сонда оған анасы былай деді: «Ертең менің туған күнім, және ол күн өткен соң менің жасым сол сәттегі сенің жасыңнан дәл екі есе үлкен болады». Олардың туған күндері бір күнге сәйкес келмейтіні белгілі. Санжар қазір неше жаста?
комментарий/решение

Есеп №3. Шосселік веложарысқа қатысып жатқан велосипедшілер колоннасының ұзындығы $200$ м, ал жылдамдығы $40$ км/сағ. Трассаның аздап жоғары өрлейтін бөлігі басталғанда, осы бөліктегі барлық велосипедшілер жылдамдықтарын $24$ км/сағ-қа дейін азайтты. Барлық велосипедшілер осы учаскеде болған кезде колоннаның ұзындығы қандай болды?
комментарий/решение

Есеп №4. ${13 \times 13}$ тақтаның ұяшықтарына натурал сандарды жазылған. Кез келген ${3 \times 3}$ тақтадағы сандардың қосындысы да, кез келген ${4 \times 4}$ тақтадағы сандардың қосындысы да тақ болуы мүмкін бе?
комментарий/решение

Есеп №5. Сыныпта бір қатарға қойылған $5$ партада екі-екіден $10$ адам отыр. Әрқайсысы — не әрқашан шындық айтатын сері, не әрқашан өтірік айтатын өтірікші. Алдымен бірінші қатарда отырғандар «Сыныпта қанша өтірікші бар?» деген сұраққа жауап берді. Содан кейін екінші қатарда отырғандар көршісінің жауабы дұрыс па, жоқ па — соны айтты. Алғашқы $4$ партада бірінші қатарда отырғандар тиісінше «$1$», «$2$», «$3$», «$4$» деп жауап берді, ал олардың көршілері «Ол дұрыс айтты» деді. Егер бірінші қатарда кем дегенде бір сері бар болса, $5$-ші партада отырғандар қандай жауап берді?
комментарий/решение

Есеп №6. Палиндром деген — бұл солдан оңға және оңнан солға бірдей оқылатын натурал сан. Мысалы, $1446441$ — палиндром. Қандай үш таңбалы палиндромдар көбірек: ортаңғы цифры екі шеткі цифрдан үлкен болатындар ма, әлде ортаңғы цифры екі шеткі цифрдан кіші болатындар ма?
комментарий/решение

Есеп №7. Шеңбер бойына $12$ сан жазылған, олардың арасында өзара тең емес екі сан табылады. Әр сан өзіне көршілес екі санның қосындысына тең болуы мүмкін бе?
комментарий/решение

Есеп №8. Шеңбер бойымен $2026$ шам орналасқан, олардың әрқайсысын қосуға немесе сөндіруге болады. Бастапқыда барлық шамдар қосулы. Мирас барлық шамдардың күйін көреді, бірақ оларды өзгерте алмайды; ал Эрик шамдарды көрмейді, бірақ бір жүрісте қатар тұрған кез келген үш шамды таңдап, олардың күйін кері ауыстыра алады (қосулы шамдар сөндіреді, сөнулі шамды қосады). Мирас нұсқауларын орындай отырып, Эрик шектеулі жүрістер санында барлық шамдарды өшіре ала ма?
комментарий/решение