Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 6 класс, 2026 год

Задача №1. Данияр написал на доске некоторое число, а Батыр заменил каждую из его цифр буквой, причём одинаковые цифры он заменял одинаковыми буквами, а разные — разными. Получилось слово «ПРОИЗВОДНАЯ». Оказалось, что если стереть в нём все буквы О, то новое число будет делиться на 9. Какую цифру Батыр заменил буквой О в исходном числе?
комментарий/решение

Задача №2. Санжар сказал своей маме: «Если переставить цифры в моём двузначном возрасте, получится твой возраст». Мама ответила: «Завтра у меня день рождения, и после того, как он наступит, мой возраст станет ровно в два раза больше твоего возраста на тот момент». Известно, что их дни рождения не совпадают. Сколько лет Санжару?
комментарий/решение

Задача №3. Колонна велосипедистов, принимающих участие в шоссейной велогонке, растянулась на 200 м. Скорость колонны 40 км/ч. Когда начался участок трассы с уклоном немного в гору, всем велосипедистам на этом участке пришлось снизить скорость до 24 км/ч. Какова стала на этом участке длина колонны, когда все велосипедисты находились на этом участке?
комментарий/решение

Задача №4. Можно ли записать натуральные числа в клетки таблицы ${13 \times 13}$ так, чтобы в любом квадрате ${3 \times 3}$ и любом квадрате ${4 \times 4}$ сумма чисел была нечётная?
комментарий/решение

Задача №5. В кабинете на 5 партах, поставленных в один ряд, по двое сидят 10 человек. Каждый из них рыцарь, который всегда говорит правду, или лжец, который всегда врёт. Сначала люди первого ряда ответили на вопрос: «Сколько в кабинете лжецов?». Потом люди второго ряда высказались на ответ соседа по парте, прав ли он. Известно, что на первых 4 партах люди первого ряда ответили «1», «2», «3», «4» соответственно, а их соседи сказали «Он прав». Что ответили люди на 5-ой парте, если в первом ряду имеется хотя бы один рыцарь?
комментарий/решение

Задача №6. Палиндром — это натуральное число, которое читается одинаково слева направо и справа налево, например 1446441 является палиндромом. Каких трехзначных палиндромов больше: тех, у которых средняя цифра больше обеих крайних, или тех, у которых средняя цифра меньше обеих крайних?
комментарий/решение

Задача №7. Можно ли расположить по окружности 12 чисел, не все из которых равны, так, чтобы каждое число было равно сумме двух соседних чисел?
комментарий/решение

Задача №8. По окружности расположены 2026 ламп, каждый из которых можно включать либо выключать. Изначально все лампы включены. Мирас видит состояние всех ламп, но не может на них воздействовать; Эрик не видит ламп, но за один ход может выбрать любые три подряд идущих лампы и переключить их состояния (включённые выключаются, выключенные включаются). Может ли Эрик, следуя указаниям Мираса, за конечное число ходов выключить все лампы?
комментарий/решение