қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2025-2026 учебный год. 7 класс.
Есеп №1. Жүйені нақты сандар жиынында шешіңіз $$ \left\{ \begin{gathered} |x|+y+z=1,\\ x+|y|+z=2, \\ x+y+|z|=3. \\ \end{gathered} \right.$$
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. а) Түзу дұрыс 2026-бұрышты периметрі тең екі көпбұрышқа бөледі. Осы түзу 2026-бұрыштың центрі арқылы өтуі міндетті ме?
b) Түзу дұрыс 2026-бұрышты ауданы тең екі көпбұрышқа бөледі. Осы түзу 2026-бұрыштың центрі арқылы өтуі міндетті ме?
комментарий/решение
b) Түзу дұрыс 2026-бұрышты ауданы тең екі көпбұрышқа бөледі. Осы түзу 2026-бұрыштың центрі арқылы өтуі міндетті ме?
комментарий/решение
Есеп №3. Кез келген $p$ жай сан үшін $\left|30^{1004}-p\right| \geq 11$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Жазықтықтағы нүктелер жиыны 120 нүктеден тұрады, олардың кез келген үшеуі бір түзудің бойында жатпайды. Жиынның екі нүктесін қосатын әрбір кесінді көк немесе сары түске боялған. Бұл жиынның сегіз ішкі жиынға келесідей бөленетіні белгілі: осы ішкі жиындардың кез келгені үшін оның кез келген екі нүктесі көк кесіндімен қосылған. Сондай-ақ, кез келген осындай бөлуде әрбір ішкі жиында дәл он бес нүкте болатыны белгілі. Ең көп дегенде қанша кесінді көк түске боялған болуы мүмкін?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Келесі екі шартты бір мезгілде қанағаттандыратын $n$ натурал саны және $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$ жай сандары бар ма?
1) $n^{18}+n^{17}+n^{13}+n^{12}+n^{11}+n^{10}+n^{7}+n^{2}+1=p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{k}$;
2) кез келген тең емес $i, j$ үшін $p_{i} \neq p_{j}.$
комментарий/решение
1) $n^{18}+n^{17}+n^{13}+n^{12}+n^{11}+n^{10}+n^{7}+n^{2}+1=p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{k}$;
2) кез келген тең емес $i, j$ үшін $p_{i} \neq p_{j}.$
комментарий/решение