Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2025-2026 учебный год. 7 класс.

Множество точек на плоскости содержит 120 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждый отрезок, соединяющий две точки множества, покрашен в синий или жёлтый цвет. Известно, что существует такое разбиение этого множества на восемь подмножеств, что для любого из этих подмножеств любые две его точки соединены отрезком синего цвета. Также известно, что в любом таком разбиении все подмножества содержат ровно по пятнадцать точек. Какое наибольшее число отрезков может быть окрашено в синий цвет?

Комментарий/решение

Подграф имеет 15×14:2=105 синих ребер

Рассмотрим максимальное количество синих ребер между двумя подграфами , с одной вершин подграфа 1 может максимум идти 14 синих ребер в подграф 2,в противном случае мы сможем эту вершину отправить в подграф 2 и условие про разбиение останеться правдивым. Но в этом подграфе будет 16 вершин => противоречие

То есть максимальное количество синих ребер это 30×14/2=210

Количаство разбиение на пары подграфы(без повторения)=7×8/21=28

Максимальное количество синих ребер: 105×8+28×210=840+5880=6720