Е. Бакаев


Задача №1.  Числа $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ записали по кругу в некотором порядке. Назовём записанное число $\textit{хорошим}$, если оно равно сумме двух чисел, записанных рядом с ним. Каково наибольшее возможное количество хороших чисел среди записанных? ( Е. Бакаев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. Можно ли прямоугольник $1000 \times 2016$ разрезать на прямоугольники $1 \times 2015$ и трёхклеточные «уголки» так, чтобы присутствовали фигурки обоих видов? ( Е. Бакаев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  Числа 1, 2, $\ldots,$ 1000 разбили на два множества по 500 чисел: красные $k_1,$ $k_2,$ $\ldots,$ $k_{500}$ и синие $s_1,$ $s_2,$ $\ldots,$ $s_{500}.$ Докажите, что количество таких пар $m$ и $n$, у которых разность $k_m-s_n$ дает остаток 7 при делении на 100, равно количеству таких пар $m$ и $n$, у которых разность $s_n-k_m$ дает остаток 7 при делении на 100. Здесь рассматриваются все возможные разности, в том числе и отрицательные.
   Напомним, что остатком от деления целого числа $a$ на 100 называется разность между числом $a$ и ближайшим числом, не большим $a$ и делящимся на 100. Например, остаток от деления числа 2022 на 100 равен $2022-2000 = 22$, а остаток от деления числа $-11$ на 100 равен $-11-(-100) = 89.$ ( Е. Бакаев )
комментарий/решение(1) олимпиада