Pakawut Jiradilok


Задача №1.  Найдите все последовательности $a_0, a_1, a_2, \ldots $, состоящие из натуральных чисел, такие что $a_0 \geqslant 2015$ и при всех натуральных $n\geqslant 1$ выполняются следующие условия:
(i) $a_{n+2}$ делится на $a_n$;
(ii) $|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1$, где $s_{n+1} = a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\ldots +(-1)^{n+1}a_0.$ ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Пусть $n$ — натуральное число. Даны $2n$ различных прямых на плоскости, среди которых нет двух параллельных. Некоторые $n$ из этих $2n$ прямых покрашены синим, а оставшиеся $n$ прямых покрашены красным. Через $\mathcal B$ обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной синей прямой, а через $\mathcal R$ обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной красной прямой. Докажите, что существует окружность, которая имеет с множеством $\mathcal B$ ровно $2n-1$ общих точек и с множеством $\mathcal R$ тоже имеет ровно $2n-1$ общих точек. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  Пусть $n$ — натуральное число. Пару $n$-ок целых чисел $(a_1,\ldots,a_n)$ и $(b_1,\ldots,b_n)$ назовем исключительной, если $$|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\leq 1. $$ Найдите наибольшее возможное количество попарно различных $n$-ок целых чисел, любые две из которых образуют исключительную пару. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение олимпиада