Cyprus


Задача №1.  В треугольнике $\triangle ABC$ $\angle BAC = 90^{\circ}$ а точка $E$ — основание высоты из вершины $A$ на сторону $BC$. На прямой $AB$ отмечена точка $Z \ne A$ такая, что $AB = BZ$. Обозначим через $(c)$ описанную окружность $\triangle AEZ$. Прямая $ZC$ вторично пересекает $(c)$ в точке $D$, а отрезок $DF$ — диаметр окружности $(c)$. Прямые $FE$ и $CZ$ пересекаются в точке $P$. Пусть касательная прямая к окружности $(c)$ в точке $Z$ пересекает прямую $PA$ в точке $T$. Докажите, что точки $T$, $E$, $B$, $Z$ лежат на одной окружности. ( Cyprus )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №2.  Алиса и Боб играют в следующую игру: Алиса выбирает некоторое натуральное число $ n \ge 2 $, затем формируется множество $ A = \{1, 2, \ldots, n \} $. Игру начинает Боб, далее ходят по очереди. На каждом своём ходу игрок забирает себе одно число из множества, причем такую, что это число должно отличаться на 1 от его ранее выбранного (какого-либо) числа. (На первом ходу они могут выбирать любое число). Игра заканчивается тогда, когда во множестве не останется ни одного числа. Игру выиграет Алиса, если сумма всех ею выбранных чисел является составным числом, в противном случае побеждает Боб. У какого игрока есть выигрышная стратегия в такой игре? ( Cyprus )
комментарий/решение(3) олимпиада