Эйлер атындағы олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Кез келген екеуінің көбейтіндісі бүтін, ал кез келген үшеуінің көбейтіндісі бүтін емес болатын 10 әр түрлі рационал сандар бар ма? Рационал сан деп, екі бүтін санның қатынасы ретінде келген санды айтамыз. ( О. Подлипский )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет.
Решение. Предположим, что нашлись такие 10 чисел. Рассмотрим любые три из них: $a$, $b$, $c$. Тогда числа $ab$, $bc$, $ca$ — целые, а число $abc = p/q$ — нет. Тогда и число $(abc)^2 = p^2/q^2$ нецелое. Но $(abc)^2 = (ab)(bc)(ca)$ — целое. Противоречие.
Замечание. Фактически доказано, что если все попарные произведения — целые, то и все произведения по три — целые.