О. Подлипский


Задача №1.  Существуют ли 10 различных рациональных чисел таких, что произведение любых двух из них — целое число, а произведение любых трех — нет? Напомним, что рациональным называется число, равное отношению двух целых чисел. ( О. Подлипский )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Назовём натуральное число забавным, если сумма его цифр, увеличенная на 1, является делителем этого числа. Какое наибольшее количество подряд идущих натуральных чисел может оказаться забавными? ( О. Подлипский )
комментарий/решение олимпиада
Задача №3.  Среди десяти человек ровно один лжец и 9 рыцарей. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждому из них дали карточку с натуральным числом от 1 до 10, причем все числа на карточках различны. Любому можно задать вопрос: «Верно ли, что на твоей карточке написано число $M$?» ($M$ может быть только натуральным числом от 1 до 10). Верно ли, что за 17 таких вопросов можно гарантированно найти лжеца? ( О. Подлипский )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4.  Каждый из 10 человек — либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый из них задумал какое-то натуральное число. Затем первый сказал: «Мое число больше 1», второй сказал: «Мое число больше 2», $\ldots,$ десятый сказал: «Мое число больше 10». После этого они же, выступая в другом порядке, сказали (каждый по одной фразе): «Мое число меньше 1», «Мое число меньше 2», $\ldots,$ «Мое число меньше 10». Какое наибольшее число рыцарей могло быть среди этих 10 человек? ( О. Подлипский )
комментарий/решение(1) олимпиада