Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2015 год


Задача №1.  Дано 100 различных вещественных чисел. Докажите, что их можно расставить в клетках таблицы $10\times 10$ так, чтобы ни у каких двух чисел, стоящих в соседних по стороне клетках, разность не была равна 1. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №2.  Назовём натуральное число забавным, если сумма его цифр, увеличенная на 1, является делителем этого числа. Какое наибольшее количество подряд идущих натуральных чисел может оказаться забавными? ( О. Подлипский )
комментарий/решение
Задача №3.  В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BD$. Биссектрисы углов $ABD$ и $ACB$ перпендикулярны. Найдите наибольшее возможное значение угла $BAC$. ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №4.  Докажите, что существует натуральное $n$ такое, что в десятичной записи каждого из чисел $\sqrt{n}$, $\root 3\of n$, $\root 4\of n$, $\dots$, $\root {10}\of n$ сразу после запятой стоят цифры 2015$\dots$. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №5.  К натуральному числу прибавляют его наибольший собственный делитель, к получившемуся прибавляют его наибольший собственный делитель и т. д. Докажите, что после выполнения нескольких операций получится число, кратное $3^{2000}$. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №6.  Существует ли возрастающая последовательность натуральных чисел $(a_n)$ такая, что среди разностей $a_{n+1}-a_n$ встречаются все натуральные числа ровно по одному разу, а среди разностей {$a_{n+2}-a_n$} встречаются только натуральные числа, большие 2015, причем тоже ровно по одному разу? ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №7.  Продолжение биссектрисы $CL$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность треугольника в точке $K$. Точка $I$ — центр вписанной окружности. Оказалось, что $IL=LK$. Докажите, что $CI=IK$. ( Д. Ширяев )
комментарий/решение(1)
Задача №8.  Четыре мудреца стоят по кругу возле непрозрачного баобаба. На каждом из мудрецов красная, синяя или зеленая шляпа. Мудрец видит только двух соседних по кругу мудрецов. Мудрецы одновременно должны высказать предположение о цвете своей шляпы. Если хотя бы один из мудрецов угадал, они выиграли. Мудрецы имели возможность обсудить ситуацию до начала игры. Как им действовать, чтобы выиграть? ( К. Кохась )
комментарий/решение