Эйлер атындағы олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Шеңбер бойымен ақ пен қара шарлар қойылған, және де қара шарлардың саны ақ шарлардан екі есе көп. Көрші шарлар жұптарының ішінде бір түсті жұптар саны әр түрлі түсті жұптар санынан үш есе көп. Ең аз дегенде қанша шар қойылуы мүмкін? ( Б. Трушин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 24.
Решение. Так как чёрных шаров в два раза больше, чем белых, то общее количество шаров делится на три. Обозначим его через $n$. Все шары разбиваются на чередующиеся группы подряд идущих одноцветных шаров (группа может состоять и из одного шара). Так как цвета групп чередуются, то общее количество групп четно. Пусть количество групп каждого цвета равно $k$. Тогда разноцветных пар соседних шаров будет $2k$, а одноцветных $n - 2k$. Из условия задачи получаем, что $n - 2k = 3 \cdot 2k$. Отсюда $n = 8k$. Таким образом общее количество шаров делится и на три и на восемь. Значит, $n$ делится на 24, и потому $n \geq 24$. Примером может служить любой круг из 8 белых и 16 чёрных шаров, в котором по три чёрных и белых групп. Например, чёрный--белый—чёрный--белый--шесть чёрных — четырнадцать белых.