Эйлер атындағы олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Кез келген екеуінің көбейтіндісі, сол екеуінің қосындысына бөлінетіндей қос-қостан өзара тең емес 2014 сан берілген. Осы сандардың ешқайсысы қос-қостан өзара тең емес алты жай сандардың көбейтіндісіне тең бола алмайтынын дәлелде. ( И. Рубанов, С. Берлов, В. Сендеров )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Допустим противное: среди данных есть число $a$, равное произведению шести попарно различных простых. Из равенства $ab/(a+b) = a – a^2/(a+b)$ следует, что $ab$ делится на $a+b$ тогда и только тогда, когда $b^2$ делится на $a+b$. Поэтому если число $a$ есть на доске, то его квадрат должен делиться на все числа вида $a+b$, где $b$ — другое данное число. Но таких чисел 2013, а у числа $a^2$ только $3^6 = 729$ делителей (это следует из известной формулы для числа делителей, дающей в данном случае результат $(2+1)^6$, но в данном частном случае его нетрудно получить и непосредственно).
Замечание. Числа 2014 не могло оказаться даже среди 15 выбранных. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что все делители вида $2014+a$ больше 2014, а таких делителей у числа $2014^2$ ровно $(27-1)/2 = 13 < 14$: все делители числа $2014^2$, кроме 2014, делятся на пары дополняющих друг друга до $2014^2$, и в каждой паре ровно один делитель больше 2014.