Қалалық Жәутіков олимпиадасы 9 сынып, 2005 жыл

$f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ квадрат үшмүшелігінің ($a,b,c$ — бүтін сандар, $c$ — тақ сан) түбірлері бүтін сандар. $f\left( 2005 \right)$ тақ санға тең болуы мүмкін бе?

Комментарий/решение

$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$ бұдан

$$c=a\cdot x_1\cdot x_2$$ екендігі шығады

$c$-тақ сан болғандықтан $a, x_1, x_2$ сандары да тақ сан болады. Сонда

$a(2005-x_1)(2005-x_2)$ саны жұп сан болады. Себебі, $x_1, x_2$ сандары тақ сан болғандықтан әр жақшаның іші жұп сан болады.

Жауабы: тақ сан болуы мүмкін емес.