Қалалық Жәутіков олимпиадасы 9 сынып, 2007 жыл

$ABC$ үшбұрышының $AB$ қабырғасының бойынан $K$ және $L$ нүктелері алынған ($K$ нүктесі $A$ және $L$ нүктелерінің арасында жатыр). $AK\cdot LB=AB\cdot KL$ және $\angle LCK=\angle LCB$ екені белгілі. $ACL$ — бұрышы тік екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

По теореме биссектрис $\dfrac{CB}{CK}=\dfrac{LB}{KL}$ из условии $\dfrac{LB}{KL}= \dfrac{AB}{AK}$ тогда $\dfrac{CB}{CK}=\dfrac{AB}{AK}$.

Пусть точка что $T$ на $BC$ что $CK=CT \Rightarrow CL$ биссектриса и высота $CL \bot KT$

$CK=CT \Rightarrow \dfrac{CB}{CT}=\dfrac{AB}{AK}$ по теореме Фалеса $CA \parallel KT$

$CL \bot KT \Rightarrow CL \bot CA$ ч.т.д