Математикадан жасөспірімдер арасындағы 6-шы Балкан олимпиадасы 2002 жыл, Тыргу-Муреш, Румыния

Центрі $O_{1}$ және $O_{2}$ болатын әр түрлі радиусты шеңберлер $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $O_{1}$ және $O_{2}$ центрлері $AB$ түзуінің екі жағында жатады. $BO_{1}$ және $BO_{2}$ түзулері өзінің сәйкес шеңберлерін қайта $B_{1}$ және $B_{2}$ нүктелерінде қияды. $M$ нүктесі $B_{1}B_{2}$ кесіндісінің орасы болсын. Центрлері $O_{1}$ және $O_{2}$ болатын шеңберлерінен $\angle AO_{1}M_{1}= \angle AO_{2}M_{2}$ болатындай $M_{1}$ және $M_{2}$ нүктелері адынған, $B_{1}$ нүктесі $\angle AO_1M_1$ бұрышының ішінде жатады, $B$ нүктесі $\angle AO_2M_2$ бұрышының ішінде жатады. $\angle MM_{1}B = \angle MM_{2}B$ екенін дәлелдеңіздер. ( Ciprus )

Комментарий/решение

Заметим что B1,A,B2 лежат на одной прямой (угол В1АВ=В2АВ=90°)

Заметим что $МО_2$ средняя линия$\triangle B_1B_2B$,значит $MO_2 \parallel BB_1$.

Также $MO_1 \parallel BO_2$ $\rightarrow O_1MO_2B$- параллелограм.

Так как $\angle O_1AO_2 = \angle O_1BO_2 = \angle O_1MO_2$, то $O_1,M,A,O_2$ лежат на одной окружности.

По этому $ \angle AO_1M =\angle AO_2M \rightarrow \angle M_1O_1M = \angle M_2O_2M$.

$O_1M=BO_2=O_2M_2$ и $O_2M=BO_1=O_1M_1$ и $\angle M_1O_1M=\angle M_2O_2M$ => $\triangle M_1O_1M=\triangle M_2O_2M$ => $MM_1=MM_2$

$\angle M_1BA=\angle M_1O_1A/2$ и $\angle M_2BA = 180°- \angle AO_2M/2 \rightarrow$ В лежит на $M_2M_1 \rightarrow \angle MM_1B = \angle MM_2B$