Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2000 жыл


Кез келген шеңбер ішінде барлық 4 түсті нүктелер кездесетіндей, жазықтықты 4 түске бояу мүмкін бе?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  9
2023-11-23 14:01:40.0 #

Существует разбиение плоскости $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ на $4$ подмножества такое, что любой круг на плоскости содержит внутренние точки из каждого подмножества:

$A=\{(x,y)|\;x\in\mathbb{Q}, y\in\mathbb{Q}\}$;

$B=\{(x,y)|\;x\in\mathbb{Q}, y\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\}$;

$C=\{(x,y)|\;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, y\in\mathbb{Q}\}$;

$D=\{(x,y)|\;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, y\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\}$