Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2001 жыл

Турнирге он волейбол командасы қатысты. Әрбір екі команда тек бір ойында кездесті. Ұтқан командаға 1 ұпай, ал жеңілген командаға 0 ұпай берілді (волейболда тең ойын болмайды). Егер $n$-інші орын алған команда ${{x}_{n}}$ ұпай жинаса ($n=1,\ldots, 10$), келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: ${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+\ldots +10{{x}_{10}}\ge 165.$ ( Д. Терешин )

Комментарий/решение

$$x_j:x_k\rightarrow^{min} 1:0 \quad \forall k\in\left\{ 1,2,...,10 \right\} \setminus \left\{ 1,...,j\right\}$$ $$\Rightarrow x_n=f(n)\geq 10-n$$

$$ \Rightarrow n\cdot x_n\geq 10n-n^2$$

$$\sum_{n=1}^{10}n\cdot x_n\geq \sum_{n=1}^{10} (10n-n^2)=165$$