Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2004 жыл

Центрі $O$ нүктесі және радиусы 1 болатын шеңберге, барлық бұрыштары $45{}^\circ $-градустан үлкен сүйірбұрышты үшбұрыш іштей сызылды. $B$ нүктесінен $CO$ түзуіне $B{{B}_{1}}$ перпендикуляры, ал ${{B}_{1}}$ нүктесінен $AC$ түзуіне ${{B}_{1}}{{B}_{2}}$ перпендикуляры жүргізілді. Дәл осылай, $C$ нүктесінен $BO$ түзуіне $C{{C}_{1}}$ перпендикуляры, ал ${{C}_{1}}$ нүктесінен $AB$ түзуіне ${{C}_{1}}{{C}_{2}}$ перпендикуляры жүргізілді. ${{B}_{1}}{{B}_{2}}$ және ${{C}_{1}}{{C}_{2}}$ түзулері ${{A}_{3}}$ нүктесінде қиылысады. Дәл осылай ${{B}_{3}}$ және ${{C}_{3}}$ нүктелері анықталады. ${{A}_{3}}{{B}_{3}}{{C}_{3}}$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңыз. ( Ф. Петров, Ф. Бахарев )