Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2013 жыл

Үстел үстінде 100 тас үйіндісі жатыр. Екі ойынша кезектесіп жүріс жасайды. Бір жүрісте, 99 үйіндіден артық емес үйінділерден кез-келген мөлшерде (нөлдік емес) тас алуға болады. Жүрісі қалмаған ойыншы жеңіледі. Әділ ойында, кез-келген алғашқы жаңдайда, бастаған ойыншы немесе оның қарсыласы жеңетінін анықтаңыз. ( К. Кохась )

Комментарий/решение

Понял условие как: для каждого начального положения укажите...

Решение:

Обозначим начинающего как первый игрок и противника как второй игрок.

Если в самом начале в $100$ кучах количество камней поровну то выигрывает второй игрок, в противном случае выигрывает первый игрок.

Допустим, что в самом начале количество камней поровну во всех $100$ кучах.

Если первый игрок после своего хода заканчивает камни хотя бы в одной куче , то остается $99$ или меньше куч, которые второй игрок сможет опустошить за один ход, и одержать победу.

Из-за того, что первый игрок отбирает камни хоть из какой-то кучи и хотя бы одна куча останется нетронутой (из-за ограничения в условии в $99$ куч) то после первого хода хоть в какой-то куче станет меньше камней чем в нетронутой куче. Таким образом, второй игрок может определить кучу с наименьшим количеством камней (таких может быть несколько но не $100$) и своим ходом приравнять количество камней в каждой из остальных куч на это наименьшее количество.

У первого игрока опять $100$ куч с одинаковыми количествами камней и второй игрок может продолжать придерживаться своей стратегии. Таким образом, после каждого хода количество камней в каждой куче будет уменьшаться по крайней мере на 1 камень. Так как камней конечное количество то это дойдет до того, что в какой-то момент первый игрок опустошит хотя бы одну кучу при этом оставив за собой хотя бы одну непустую кучу. И это означает победу для второго игрока, так как он приравняет количество камней в остальных кучах к $0$.

Если же в самом начале количество камней в кучах все таки не поровну, то первый игрок может действовать как второй: Первым ходом определить кучу с наименьшим количеством камней и все остальные кучи приравнять к этому количеству. И теперь у второго игрока проигрышная ситуация описанная выше.