Эйлер атындағы олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

$100 \times 100$ тақтаның әр шаршысына $1$ немесе $-1$ саны жазылған. Дәл 99 қатардағы сандардың қосындысы теріс, ал дәл 99 бағандағы сандардың қосындысы оң бола алады ма? ( Д. Ненашев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет, не могло.
Решение. Пусть искомая расстановка существует. Поскольку в каждой строке и в каждом столбце таблицы стоит чётное количество нечётных чисел, все суммы чисел в строках и столбцах чётны. Поэтому в каждой строке с отрицательной суммой эта сумма не больше $-2$. Следовательно, сумма всех чисел в таблице не превосходит $99 \cdot (-2)+100 = -98$. С другой стороны, в каждом столбце с положительной суммой эта сумма не меньше $2$, и потому сумма всех чисел в таблице не меньше $99\cdot 2-100 = 98$. Противоречие.