Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2016 жыл

$\angle BDC=90{}^\circ $ болатындай, $ABC$ үшбұрышының ${{AA}_{1}}$ биіктігінен $D$ нүктесі алынды. $H$ нүктесі $ABC$ үшбұрышының ортоцентрі. $AH$ кесіндісі диаметр ретінде алынып, осы диаметр бойынша шеңбер салынды. Осы шеңберге $B$ нүктесінен жүргізілген жанаманың ұзындығы, $BD$ кесіндісінің ұзындығына тең екенін дәлелдеңіз. ( Л. Емельянов )

Комментарий/решение

Пусть$BK$ касательная к окружности с диаметром $AH$.

$BB{_{1}}$ высота треугольника $ABC$. $B{_{1}}$ лежит на окружности с диаметром $AH$. Тогда верно что $BK^{2}=BH\cdot BB{_{1}}$. Также $B{_{1}}CA{_{1}}H$ вписанный. Получаем $BH\cdot BB{_{1}}=BA{_{1}}\cdot BC$.Из подобия треугольников$BDC$ и $BA{_{1}}D$ верно что $BD^{2}=BA{_{1}}\cdot BC$.В итоге $BK^{2}=BH\cdot BB{_{1}}=BA{_{1}}\cdot BC=BD^{2}$. Выходит $BK=BD$

молодец бро