Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2017 жыл

$ABC$ тең бүйірлі үшбұрышында $BL$ биссектрисасы салынды. $AE=\frac{1}{2}AL=CD$ болатындай $BC$ табанында $D$ нүктесі, ал $AB$ бүйір қабырғасында $E$ нүктесі алынды. $LE=LD$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Возьмем точку $F$ на стороне $AB$ так, что $FL||BC$.

Используя свойство биссектрисы и $\triangle AFL \sim \triangle ABC:$

$\frac{CL}{BC} = \frac{AL}{AB} = \frac{FL}{BC}$ $\Rightarrow$ $FL=CL$

$FL=CL , EF=AE=DC , \angle EFL = \angle LCD \Rightarrow \triangle EFL = \triangle DCL \Rightarrow LE=LD$