Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2017 жыл

$\sigma \left( n \right)$ арқылы $n$ санының натурал бөлгіштер қосындысын атайық. $r$ және $b$ натурал сан және $b$ тақ сан болатындай, $N={{2}^{r}}b$ натурал саны берілсін. $\sigma \left( N \right)=2N-1$ екені белгілі. $b$ және $\sigma \left( b \right)$ сандары өзара жай екенін дәлелдеңіз. ( J. Dris, J. Antalan )

Комментарий/решение

$\sigma(2^rb) = \sigma(2^r) \sigma(b) = 2^{r+1}b -1 $. Теперь можем изобразить уравнение в виде $-\sigma(b) \times 2^r + b \times 2^{r+1} = 1$. Из следствия леммы Безу получаем что $НОД(b, \sigma(b))$ делит 1, откуда и вытекает ответ.(мы можем использовать тот факт что $\sigma(2^rb)=\sigma(2^r)\sigma(b)$, потому что по условию $b$ нечетно, а значит взаимно простое с $2^r$)

Не факт

Недостаточно ли того, что функция сигмы мультипликативна при $(2^r; b)=1$? Там типо выходит $\sigma(2^r)*\sigma(b)=2*2^r*b-1$. Что и доказывает утверждение???

А, затупил, оказывается там тоже самое, подумал что-то намудрили))