Эйлер атындағы олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Жүгіру жолының екі соңы бар. Оның бір соңынан көк майка киген бес, және екінші соңынан қызыл майка киген бес жүгірушілер бір уақытта жүгіре бастайды. Әр жүгірушілердің жылдамдықтары әртүрлі, және 9 км/сағ-тан үлкен және 12 км/сағ-тан кем. Жүгіруші жолдың екінші жағына жеткенде, бұрылып жүгіруді бастаған жерге қарай қайтадан жүгіреді де, сосын жүгіруді бастаған жерге жеткенде жүгіруін аяқтайды. Жүгіру кезінде екі әртүрлі түсті майка киген екі адам кездескен кезде (бетпе-бет немесе біреуі екіншісі қуып жеткенде), бапкер дәптеріне белгі салады (жүгіру кезінде бір нүктеде екіден көп жүгіруші кездеспеген). Ең жылдам жүгіруші жүгіруін аяқтай бергенде бапкер әдәптеріне қанша белгі салады? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 50. Решение. Покажем, что к моменту финиша самого быстрого бегуна любые двое разноцветных бегунов встретились ровно два раза, откуда и будет вытекать ответ $2 \times 5 \times 5 = 50$.
Пусть $s$ (км) — длина дорожки. Положим $T = 2s/12$ (ч). Так как скорость самого быстрого бегуна меньше 12 км/ч, он дважды пробежит дорожку за время, большее $T$. Покажем, что все возможные встречи бегунов случатся раньше, чем после старта истечёт $T$ часов.
Возьмём двух разноцветных бегунов. Первая их встреча случится, когда они вместе пробегут длину дорожки, и это произойдёт раньше, чем через $s/18 = T/3 < T$ часов. Когда более быстрый из этих двоих пробежит всю дорожку, более медленный, скорость которого составляет более $9/12 = 3/4$ скорости более быстрого, пробежит уже больше $3/4$ длины дорожки и потому более быстрый, повернув, не успеет его догнать (для этого он должен был бы бежать по крайней мере вчетверо быстрее более медленного). Значит, вторая встреча этих двоих случится, когда оба будут бежать назад. К этому моменту они вместе пробегут расстояние $3s$, и это произойдёт раньше, чем через $3s/18 = T$ часов, что и завершает доказательство.