1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, первая лига

Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Обозначим через $K$ и $L$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $F$ и $E$ соответственно на прямую $BC$. Пусть эти перпендикуляры пересекают вписанную окружность во второй раз в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите равенство $\frac{S_{BMD}}{S_{CND}}=\frac{DK}{DL}$.

Комментарий/решение

Если взять угол В как x тогда $\angle BFK=\angle MDF= 90-x, \angle KFD=\angle MDK=0,5x$ пусть I Это центр вписанной окружности тогда Треугольники BID и MKD подобны значит $\frac{MK}{DK}=\frac{r}{BD}$ r это радиус вписаной окружности. Сделаем тоже самое со стороны угла C и получим что $\frac{NL}{LD}=\frac{r}{DC}$

$r=\frac{BD*MK}{DK}$

$r=\frac{NL*DC}{DL}$

$\frac{MK*BD}{DK}=\frac{NL*DC}{DL}$

Переводем DK и все