Геометриядан Иран олимпиадасы, 2017 жыл, 3-ші лига (11-12 сыныптар)

$S$ сферасы жазықтықты жанайды. Ешбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын $A$, $B$, $C$ және $D$ нүктелері сол жазықтықта жатыр. $S$ сферасы $A'BCD$ тетраэдірінің жақтарын жанайтындай $A'$ нүктесін қарастырайық. Дәл солай $B'$, $C'$ және $D'$ нүктелері анықталсын. $A'$, $B'$, $C'$ және $D'$ нүктелерінің бір жазықтықта жататынын және $(A'B'C'D')$ жазықтығының $S$-ті жанайтынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Инвертируйте в точке контакта $S$ и плоскости $ABCD$, скажем $X$. Из равных касательных к каждой из точек $A,B,C,D$ в отдельности получаем, что $P$ лежит на сфере, связанной с каждой точкой (скажем, $S_a$). Фактически, поскольку сфера пересекается по окружности с другой сферой, точки лежат на окружности. Обозначим через $X_{LMN}$ образ точки касания грани $LMN$ с $S$. Точки $X_{ABC'} \equiv X_{ABD'}, X_{ACB'} \equiv X_{ACD'}, X_{ADB'} \equiv X_{ADC'}$ лежат на одной прямой. Таким образом, у нас есть 4 таких строки. Удалим из названия выделенные точки, так как они избыточны.

Окружность, проходящая через $X_{BC}, X_{BD}, X_{CD}$, есть образ окружности, пересекаемой $S$ касательным конусом от $A'$ к $S$. Рассмотрим точку Микеля четырех упомянутых линий. Образ этой точки находится на сфере, а прямая $A'P$ касается сферы $S$. По симметрии прямые $B'P, C'P, D'P$ также касаются $S$, поэтому мы получаем вывод из того, что все касательные в точке сферы лежат на плоскости.