20-шы «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2021 жыл

$ABC$ үшбұрышында $M$ нүктесі — $AB$ қабырғасының ортасы. $AC$ кесіндісінде $CB=CB_1$ болатындай $B_1$ нүктесі белгіленген. $ABC$ және $BMB_1$ үшбұрыштарына сырттай сызылған сәйкесінше $\omega$ және $\omega_1$ шеңберлері екінші рет $K$ нүктесінде қиылысады. $Q$ нүктесі — $\omega$ шеңберіндегі $ACB$ доғаның ортасы. $B_1Q$ және $BC$ түзулері $E$ нүктесінде қиылысады. $KC$ түзуінің $B_1E$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Решение: Так как $ABCK$ и $BMB_1K$ вписанные, то

$$\angle ABK = \angle ACK,\ \angle BAK = \angle KCE,\ \angle BB_1M = \angle BKM .$$

Посчитав углы, легко понять, что $BQ$ и $AQ$ касательные к $(AB_1B),$ откуда $B_1E$ и $B_1M$ изогонально сопряжены относительно $\angle AB_1B,$ т.е.

$$\angle BB_1M=\angle CB_1E.$$

Пусть точка $K_1$ симметрична $K$ относительно $M$, тогда

$$\angle K_1AM = \angle B_1CK,\ \ \angle KAM=\angle ECK,$$

$$\text{а так же}\ \ \angle AK_1M = \angle CB_1E.$$

Тогда $\triangle KAK_1\sim \triangle ECB_1,$ а так же $AM$ и $CK$ являются соответствующими чевианами в этих подобных треугольниках, но $AM$ медиана $\triangle KAK_1,$ поэтому $CK$ медиана в $ECB_1,$ ч.т.д. $\blacksquare$

Легко понять, что треугольники $BQA$ и треугольник $BCB_1$ подобны, из этого следует равенство углов $CBQ$ и $ABK$, так как четырехугольник $BCQA$ вписанный, то угол $CBQ$ равен углу $CAQ$, то $AQ$ касательная к (BB_1A), также нетрудно понять, что $BQ$ тоже касательная, то из свойства симедиана, можно понять, что $B_1Q$ симедиана треугольника $BB_1A$ из этого следует равенство углов $CB_1Q$ и $BKM$

Давайте проведем параллель к $B_1Q$ через $С$ и пусть она пересекает окружность описанную около ABC, в точке $F$, также заметно равенство следующих углов $QB_1C$ $FCB_1$ $FKA$, то четырехугольник $BKAF$, гармонический, и проецирование через точку $С$, завершает доказательство

Браво! Очень красиво!