Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2021 год


Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает диагональ $AC$ в точке $E,$ а внешняя биссектриса угла $B$ пересекает прямую $AD$ в точке $F.$ Точка $M$ — середина отрезка $BE.$ Докажите, что прямые $CM$ и $EF$ параллельны. ( А. Кузнецов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
2022-05-19 21:28:03.0 #

Пусть $FE \cap BC=G$. Замети что $FA=AB$. В силу параллельности и свойство биссектрисы треугольника получаем: $\frac{FA}{CG}=\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{FA}{BC}$. Отсюда получаем что $BC=CG$ значит  $CM$  средняя линия $\triangle BEC$ значит $CM \parallel EG \parallel FG$