5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 тур

Есть 50 карточек, на них написано число от 1 до 50, каждая по одному разу. Костя и Виталик по очереди берут по одной карточке, пока все карточки не будут разобраны. Костя берет первым и хочет добиться того, чтобы сумма чисел на его карточках делилась на 25. Виталик хочет помешать этому. Сможет ли Костя добиться своей цели?

Комментарий/решение

Разобьём эти карточки на 2 ряда :

$1, 2, ..., 25$;

$26, 27, ..., 50$;

Заметим для каждого числа $x <25$ есть два числа y и z, где $x+z, x+y$ кратны 25. Каждый возьмёт поровну карточек (тоесть 25). А значит Косте нужно первым ходом взять карточку 25. Назовем "цепочкой" , где в цепи есть число $ m, 50-m , 25+m, 25-m$ Таких цепочек 12( без учёта цепи $25, 50$)

Костику достаточно брать 2 числа из одной какой-то цепи. Когда Костик взял 25, теперь ход Виталика. Виталик берет произвольное число Костик берет другое число, которое в сумме с числом , который взял Виталик делится на 25 и оно должно быть из этой же цепочки. И так Костик выигрывает симметрией.