Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, III тур дистанционного этапа

Шестиугольник, все углы которого меньше 180 градусов, таков, что каждый треугольник, образованный тремя идущими подряд его вершинами, имеет площадь 1. Докажите, что площадь этого шестиугольника не меньше 6. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Шаг 1)

ABCDEF- вершины шестиугольника. Проведём АН1, ДН2, где Н1, Н2 - основания высот опущенных из А и Д на FE соответственно. Тогда тк площади треугольников AFE = FED,то AH1=DH2. Отсюда AD || FE. Соответственно,

AD || FE || BC

AB || FC || DE

CD || BE || AF

Значит, пусть FC и AD пересекаются в О. По признаку паралелограмма, те паралельности, OD = FE, AO = BC. АО*h1/2=1, тк h1 - высота в трапеции ABCD. И также, h2*OD/2=1, h2- высота в трапеции ADFE. Тогда надо доказать что сумма площадей треугольников FOD+BOD хотя бы 2( потому что площади всех остальных частей равны 2). То есть надо доказать, что h2*AO+h1*OD хотя бы 4. Причем h2=2/OD, h1=2/AO.

Тогда, надо доказать, что AO/OD + OD/ AO хотя бы 2. По AM GM это верно. Доказано

Solution by Eldar and Adilzhan