Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, III тур дистанционного этапа

Алтыбұрыштың әр бұрышы 180 градустан кіші және кез келген қатар келген үш төбе арқылы құрастырылған үшбұрыштың ауданы 1-ге тең. Осы алтыбұрыштың ауданы 6-дан кем емес екенін дәлелдеңіз. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Шаг 1)

ABCDEF- вершины шестиугольника. Проведём АН1, ДН2, где Н1, Н2 - основания высот опущенных из А и Д на FE соответственно. Тогда тк площади треугольников AFE = FED,то AH1=DH2. Отсюда AD || FE. Соответственно,

AD || FE || BC

AB || FC || DE

CD || BE || AF

Значит, пусть FC и AD пересекаются в О. По признаку паралелограмма, те паралельности, OD = FE, AO = BC. АО*h1/2=1, тк h1 - высота в трапеции ABCD. И также, h2*OD/2=1, h2- высота в трапеции ADFE. Тогда надо доказать что сумма площадей треугольников FOD+BOD хотя бы 2( потому что площади всех остальных частей равны 2). То есть надо доказать, что h2*AO+h1*OD хотя бы 4. Причем h2=2/OD, h1=2/AO.

Тогда, надо доказать, что AO/OD + OD/ AO хотя бы 2. По AM GM это верно. Доказано

Solution by Eldar and Adilzhan