10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, вторая лига, 9-10 классы

Дан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ с точкой $P$ внутри него. Предположим, что $BCEF$ — это квадрат, и $ABP$ и $PCD$ — прямоугольные равнобедренные треугольники с прямыми углами в вершинах $B$ и $C$. Прямые $AF$ и $DE$ пересекаются в точке $G$. Докажите, что $GP \perp BC$.

Комментарий/решение

Эта задача - частный случай очень известной задачи про прямоугольник:

Дан прямоугольник $ABCD$ и точки $E,F$ на его описанной окружности. Пусть $AE,BF$ пересекутся в $P$ и $CE,DF$ в $Q$, тогда $PQ \bot AB$.

Конгруэнтность треугольников $ABF, PBC, DEC$ очевидна. Осталось найти $\angle (PC;GA)$. Но это очевидно: из равенства $\angle (BA;AF)=\angle (BP;PC)$ следует вписанность и с другой стороны тоже. Таким образом $PC\bot AG, PB\bot DG$, и все.