10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, вторая лига, 9-10 классы

Дөңес $ABCDEF$ алтыбұрышының ішінде $P$ нүктесі алынған. $BCEF$ — квадрат, ал $ABP$ және $PCD$ үшбұрышының екеуі де тік төбелері, сәйкесінше, $B$ және $C$ болатын теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрыштар болсын. $AF$ және $DE$ түзулері $G$ нүктесінде қиылысады. ${GP \perp BC}$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Лемма:

Дан прямоугольник $ABCD$ и точки $E,F$ на его описанной окружности. Пусть $AE,BF$ пересекутся в $P$ и $CE,DF$ в $Q$, тогда $PQ \bot AB$.

$BA=BP,BF=BC, \angle ABP=\angle FBC, \angle ABF=\angle PBC\Rightarrow \triangle BAF=\triangle BPC$. Треугольники $BPC$ и $EDC$ равны по аналогии. $BP\cap DE=K,CP\cap AF=L$. $\angle LAB=\angle BPC=180^\circ-\angle LPB\Rightarrow \angle ABP=\angle ALP=90^\circ$, поэтому $L$ лежит на $(BCED)$. $K$ аналогично.

Тем самым из леммы:

$BCED$ - прямоугольник (квадрат), $L$ и $K$ на его описанной окружности, $BK\cap CL=P,FL\cap EK=G$, тогда $GP\bot BC$.