10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы

Биссектриса угла $BAC$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Точки $D$ и $E$ лежат на отрезках $AB$ и $AC$ соответственно так, что $BC \parallel DE$. Точки $K$ и $L$ отмечены на отрезках $PD$ и $PE$ соответственно так, что точки $A$, $D$, $E$, $K$, $L$ лежат на одной окружности. Докажите, что точки $B$, $C$, $K$, $L$ также лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

По лемме Фусса замечаем, что $ALPB$ и $AKPC$ являются вписанными в окружность. Пусть $X,Y$ - точки вторичного пересечения $(APC), (APB)$ с $AB,AC$ соответственно. Благодаря тому, что $AP$ - биссектриса $\angle BAC$, имеем: $XP=PC,YP=PB$. $M$ - середина дуги $DE$ и $Q,R$ пересечения $KE,LD$ с $(APC),(APB)$ соответственно.

Заметим, что по лемме Фусса $QY||XR||DE||BC \Rightarrow QB=PY, RC=PX$, поэтому поворотная гомотетия в точке $A$ переводящая $(ADE)$ в $(APB)$ переводит $\triangle DME$ в $\triangle QBP$, следовательно $M \in LB$ и с $KC$ аналогично.

Тогда $ML\cdot MB=|pow_{(ABP)} M|=|pow_{(APC)} M|=MK\cdot MC \Leftrightarrow BKLC$ - вписанный.