10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы

Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышында $BAC$ бұрышының биссектрисасы $BC$ қабырғасын $P$ нүктесінде қияды. $D$ және $E$ нүктелері, сәйкесінше, $AB$ және $AC$ кесінділерінде $BC \parallel DE$ болатындай алынған. $K$ және $L$ нүктелері, сәйкесінше, $PD$ және $PE$ кесінділерінде $A$, $D$, $E$, $K$, $L$ нүктелері бір шеңберің бойында жататындай алынған. $B$, $C$, $K$, $L$ нүктелерінің бір шеңбер бойында жатқанын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

По лемме Фусса замечаем, что $ALPB$ и $AKPC$ являются вписанными в окружность. Пусть $X,Y$ - точки вторичного пересечения $(APC), (APB)$ с $AB,AC$ соответственно. Благодаря тому, что $AP$ - биссектриса $\angle BAC$, имеем: $XP=PC,YP=PB$. $M$ - середина дуги $DE$ и $Q,R$ пересечения $KE,LD$ с $(APC),(APB)$ соответственно.

Заметим, что по лемме Фусса $QY||XR||DE||BC \Rightarrow QB=PY, RC=PX$, поэтому поворотная гомотетия в точке $A$ переводящая $(ADE)$ в $(APB)$ переводит $\triangle DME$ в $\triangle QBP$, следовательно $M \in LB$ и с $KC$ аналогично.

Тогда $ML\cdot MB=|pow_{(ABP)} M|=|pow_{(APC)} M|=MK\cdot MC \Leftrightarrow BKLC$ - вписанный.