1. Все олимпиады
  2. Математика
  3. Дистанционные олимпиады
  4. Иранская олимпиада по геометрии
  5. 10-я олимпиада, 2023 год
  6. Третья лига, 11-12 классы

10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы


Задача №1. Биссектриса угла $BAC$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Точки $D$ и $E$ лежат на отрезках $AB$ и $AC$ соответственно так, что $BC \parallel DE$. Точки $K$ и $L$ отмечены на отрезках $PD$ и $PE$ соответственно так, что точки $A$, $D$, $E$, $K$, $L$ лежат на одной окружности. Докажите, что точки $B$, $C$, $K$, $L$ также лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)
Задача №2. Точка $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Прямые $BI$ и $CI$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Пусть $M$ — середина дуги $BAC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что если четырёхугольник $MXIY$ является вписанным, то площадь четырёхугольника $MBIC$ равна площади пятиугольника $BCXIY$.
комментарий/решение
Задача №3. Дано конечное число точек $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ на отрезке $S$ длины $L$. Для каждой точки $A_i$ обозначим через $c_i$ круг с центром в точке $A_i$ и с радиусом, меньшим или равным $1$. Обозначим объединение всех таких $c_i$ через $C$. Докажите, что периметр $C$ меньше, чем $4L+8$. (Радиусы кругов не обязательно равны.)
комментарий/решение
Задача №4. Биссектрисы $BE$ и $CF$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Пусть $D$ — основание перпендикуляра опущенного из $I$ на $BC$. $M$ и $N$ — точки пересечения высоты треугольников $AIF$ и $AIE$ соответственно. Прямые $EM$ и $FN$ пересекаются в точке $P$. Пусть $X$ — середина отрезка $BC$. Точка $Y$ лежит на прямой $AD$ так, что $XY \perp IP$. Докажите, что прямая $AI$ делит отрезок $XY$ пополам.
комментарий/решение
Задача №5. В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно, а $D$ — проекция точки $A$ на $BC$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, а описанные окружности треугольников $BOC$ и $DMN$ пересекаются в точках $R$ и $T$. Прямые $DT$ и $DR$ пересекают прямую $MN$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Прямые $CT$ и $BR$ пересекаются в точке $K$. Точка $P$ лежит на $KD$ так, что $PK$ является биссектрисой угла $BPC$. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $ART$ и $PEF$, касаются друг друга.
комментарий/решение