1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Дистанциялық олимпиадалар
  4. Геометриядан Иран олимпиадасы
  5. 10-я олимпиада, 2023 год
  6. Третья лига, 11-12 классы

10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы


Есеп №1. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышында $BAC$ бұрышының биссектрисасы $BC$ қабырғасын $P$ нүктесінде қияды. $D$ және $E$ нүктелері, сәйкесінше, $AB$ және $AC$ кесінділерінде $BC \parallel DE$ болатындай алынған. $K$ және $L$ нүктелері, сәйкесінше, $PD$ және $PE$ кесінділерінде $A$, $D$, $E$, $K$, $L$ нүктелері бір шеңберің бойында жататындай алынған. $B$, $C$, $K$, $L$ нүктелерінің бір шеңбер бойында жатқанын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(5)
Есеп №2. $I$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі. $BI, CI$ түзулері $AC, AB$ қабырғаларын, сәйкесінше, $X, Y$ нүктелерінде қияды. $M$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердегі $BAC$ доғаның ортасы. Егер $MXIY$ іштей сызылған төртбұрыш болса, $MBIC$ төртбұрышының ауданы $BCXIY$ бесбұрышының ауданына тең екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
Есеп №3. Ұзындығы $L$-ге тең $S$ кесіндінің бойында $A_1, A_2, \dots, A_n$ нүктелері алынған. Әр $A_i$ нүктесі үшін $c_i$ арқылы центрі $A_i$-де болатын және радиусы 1-ден аспайтын дөңгелекті белгілейік. $C$ арқылы барлық $c_i$ дөңгелектерінің бірігуін белгілейік. $C$-ның периметрі $4L+8$ санынан кіші екенін дәлелдеңіз.(Дөңгелектер радиустары тең болуы міндетті емес.)
комментарий/решение
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышының $BE$ және $CF$ биссектрисалары $I$ нүктесінде қиылысады. $D$ нүктесі — $I$-дан $BC$-ға түсірілген перпендикуляр табаны. $M$ және $N$ нүктелері, сәйкесінше, $AIF$ және $AIE$ үшбұрыштарының биіктіктерінің қиылысу нүктесі. $EM$ және $FN$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады. $X$ нүктесі $BC$-ның ортасы. $AD$ түзуінің бойынан $XY \perp IP$ болатындай $Y$ нүктесі алынған. $AI$ түзуі $XY$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $M$ және $N$ нүктелері — $ABC$ үшбұрышының, сәйкесінше, $AC$ және $AB$ қабырғаларының орталары. $D$ нүктесі $I$-дан $BC$-ға түсірілген проекция. $O$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі. $BOC$ және $DMN$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $R$ және $T$ нүктелерінде қиылысады. $DT$ және $DR$ түзулері $MN$ түзуін, сәйкесінше, $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $CT$ және $BR$ түзулері $K$ нүктесінде қиылысады. $P$ нүктесі $KD$ түзуінің бойында $PK$ — $BPC$ бұрышының биссектрисасы болатындай алынған. $ART$ және $PEF$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер өзара жанасатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение