10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы

Есеп №1. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышында

$BAC$ бұрышының биссектрисасы

$BC$ қабырғасын

$P$ нүктесінде қияды.

$D$ және

$E$ нүктелері, сәйкесінше,

$AB$ және

$AC$ кесінділерінде

$BC \parallel DE$ болатындай алынған.

$K$ және

$L$ нүктелері, сәйкесінше,

$PD$ және

$PE$ кесінділерінде

$A$ ,

$D$ ,

$E$ ,

$K$ ,

$L$ нүктелері бір шеңберің бойында жататындай алынған.

$B$ ,

$C$ ,

$K$ ,

$L$ нүктелерінің бір шеңбер бойында жатқанын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(5)

Есеп №2.

$I$ нүктесі —

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі.

$BI, CI$ түзулері

$AC, AB$ қабырғаларын, сәйкесінше,

$X, Y$ нүктелерінде қияды.

$M$ нүктесі —

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердегі

$BAC$ доғаның ортасы. Егер

$MXIY$ іштей сызылған төртбұрыш болса,

$MBIC$ төртбұрышының ауданы

$BCXIY$ бесбұрышының ауданына тең екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №3. Ұзындығы

$L$ -ге тең

$S$ кесіндінің бойында

$A_1, A_2, \dots, A_n$ нүктелері алынған. Әр

$A_i$ нүктесі үшін

$c_i$ арқылы центрі

$A_i$ -де болатын және радиусы 1-ден аспайтын дөңгелекті белгілейік.

$C$ арқылы барлық

$c_i$ дөңгелектерінің бірігуін белгілейік.

$C$ -ның периметрі

$4L+8$ санынан кіші екенін дәлелдеңіз.(Дөңгелектер радиустары тең болуы міндетті емес.)
комментарий/решение

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышының

$BE$ және

$CF$ биссектрисалары

$I$ нүктесінде қиылысады.

$D$ нүктесі —

$I$ -дан

$BC$ -ға түсірілген перпендикуляр табаны.

$M$ және

$N$ нүктелері, сәйкесінше,

$AIF$ және

$AIE$ үшбұрыштарының биіктіктерінің қиылысу нүктесі.

$EM$ және

$FN$ түзулері

$P$ нүктесінде қиылысады.

$X$ нүктесі

$BC$ -ның ортасы.

$AD$ түзуінің бойынан

$XY \perp IP$ болатындай

$Y$ нүктесі алынған.

$AI$ түзуі

$XY$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$M$ және

$N$ нүктелері —

$ABC$ үшбұрышының, сәйкесінше,

$AC$ және

$AB$ қабырғаларының орталары.

$D$ нүктесі

$I$ -дан

$BC$ -ға түсірілген проекция.

$O$ —

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі.

$BOC$ және

$DMN$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер

$R$ және

$T$ нүктелерінде қиылысады.

$DT$ және

$DR$ түзулері

$MN$ түзуін, сәйкесінше,

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$CT$ және

$BR$ түзулері

$K$ нүктесінде қиылысады.

$P$ нүктесі

$KD$ түзуінің бойында

$PK$ —

$BPC$ бұрышының биссектрисасы болатындай алынған.

$ART$ және

$PEF$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер өзара жанасатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение