Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып


$(p-1)!+1=p^m$ теңдеуі дұрыс болатындай қандай-да бір натурал $m$ табылатындай барлық жай $p$ санын тап.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   4
2019-05-17 18:28:06.0 #

$Ответ: p=2,3,5.$

Докажем что при $p\geq7$ решений нет. От противного. Тогда $(p-2)!=\dfrac{p^m-1}{p-1}=p^{m-1}+p^{m-2}+...+1 \equiv m (mod (p-1))$.

Так как $p$ нечётна,тогда $p-1=2k$, где $k$ натуральное число и меньше $p-2$. И $(p-2)!$ делится на $p-1$. Тогда $(p-2)!\equiv m \equiv 0 (mod(p-1))$. И $m=k(p-1)$. Тогда $p^m=p^{k(p-1)}\geq p^{p-1}>(p-1)^{p-1}+1>(p-1)!+1$ Противоречие.

Тогда $p<7$. При $p=5$ $m=2$, при $p=3$ $m=1$, при $p=2$ $m=1$.

  0
2022-12-01 11:52:43.0 #

о я так же решил)

  1
2022-11-30 20:43:52.0 #

а можно было просто написать тогда на респе типо по теореме луивилля р>5 не имеет решений и просто показать пример для 2 3 5

  1
2022-12-01 11:14:50.0 #

нет, теорема луивилля не входит в школьную программу

  0
2022-12-01 11:41:46.0 #

АХХААХА

  1
2022-12-01 11:42:51.0 #

Но в книге Кунгожина М. Про областную олимпиаду На первых страницах с теоремами упоминается теорема луивилля